![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Контрамодули и банаховы пространства - 1
Одна идея вертится у меня в голове в последние недели: что контрамодули над целыми p-адическими числами являются неархимедовыми аналогами банаховых пространств. Что делать с этой идеей и куда ее положить, не соображу.
Что такое банахово пространство (над вещественными или комплексными числами)? Правильная категория банаховых пространств -- это та, в которой морфизмы -- не произвольные непрерывные ( = ограниченные) линейные операторы, а контракции. Линейные операторы, по норме не превосходящие единицы. Эта категория даже не аддитивна, зато в ней есть бесконечные прямые суммы и произведения (в категории банаховых пространств и непрерывных линейных отображений их не существует).
Другими словами ту же мысль можно выразить так: правильный забывающий функтор из банаховых пространств в множества сопоставляет банахову пространству его замкнутый единичный шар. Замкнутый единичный шар банахова пространства -- это такой, практически, алгебраический объект. Множество с операциями. Какими операциями?
Любой последовательности векторов из единичного шара банахова пространства и любому ряду числовых коэффициентов (вещественных или комплексных -- смотря над каким из этих полей наше банахово пространство) с суммой абсолютных величин этих числовых коэффициентов, не превосходящей единицы -- сопоставляется вектор из единичного шара: сумма этих векторов с этими коэффициентами. Уравнения, которым удовлетворяет эта бесконечноместная алгебраическая операция, нетрудно выписать (что бывает, когда один и тот же вектор с разными коэффициентами складывают (унитальность) + от перестановки слагаемых значение суммы не меняется (коммутативность) + в сумме ряда сумм рядов можно раскрыть скобки и просуммировать сразу по всей двухиндексной последовательности (ассоциативность) -- я ничего не пропустил?) Тогда множество с такой операцией, удовлетворяющей таким аксиомам, однозначно определяет банахово пространство, замкнутым единичным шаром которого оно является.
На современном жаргоне можно сказать, что категория банаховых пространств с контракциями в качестве морфизмов эквивалентна категории алгебр над соответствующей монадой на категории множеств. Что это за монада? Если быть точным, то она сопоставляет произвольному множеству X подлежащее множество единичного шара банахова пространства эль-один последовательностей чисел, индексированных элементами Х. Т.е., множество всех таких последовательностей с суммой абсолютных величин значений во всех точках, не превосходящей единицу. Конечно, носитель каждой такой последовательности не более, чем счетен (какова бы ни была мощность X). Поэтому говорят, что категория банаховых пространств с контракциями в качестве морфизмов "алеф-один локально представима" (алеф-один здесь фигурирует как кардинал, непосредственно следующий за счетным кардиналом).
Update: оказывается, вышеизложенное совершенно неверно, а я запутался. Объекты вышеописанной "алгебраической версии категории банаховых пространств" называются тотально выпуклыми пространствами. Банаховы пространства образуют в их категории полную подкатегорию, как утверждается, рефлективную. Обе категории алеф-один локально представимы.
Вот пример тотально выпуклого пространства, не являющегося единичным шаром банахова пространства: взять замкнутый единичный шар любого банахова пространства (например, одномерного -- отрезок [-1,1]) и профакторизовать по отношению эквивалентности, склеивающему все внутренние точки в одну толстую точку. Кроме того, открытый единичный шар любого банахова пространства тоже является тотально выпуклым пространством.
Что такое банахово пространство (над вещественными или комплексными числами)? Правильная категория банаховых пространств -- это та, в которой морфизмы -- не произвольные непрерывные ( = ограниченные) линейные операторы, а контракции. Линейные операторы, по норме не превосходящие единицы. Эта категория даже не аддитивна, зато в ней есть бесконечные прямые суммы и произведения (в категории банаховых пространств и непрерывных линейных отображений их не существует).
Другими словами ту же мысль можно выразить так: правильный забывающий функтор из банаховых пространств в множества сопоставляет банахову пространству его замкнутый единичный шар. Замкнутый единичный шар банахова пространства -- это такой, практически, алгебраический объект. Множество с операциями. Какими операциями?
Любой последовательности векторов из единичного шара банахова пространства и любому ряду числовых коэффициентов (вещественных или комплексных -- смотря над каким из этих полей наше банахово пространство) с суммой абсолютных величин этих числовых коэффициентов, не превосходящей единицы -- сопоставляется вектор из единичного шара: сумма этих векторов с этими коэффициентами. Уравнения, которым удовлетворяет эта бесконечноместная алгебраическая операция, нетрудно выписать (что бывает, когда один и тот же вектор с разными коэффициентами складывают (унитальность) + от перестановки слагаемых значение суммы не меняется (коммутативность) + в сумме ряда сумм рядов можно раскрыть скобки и просуммировать сразу по всей двухиндексной последовательности (ассоциативность) -- я ничего не пропустил?) Тогда множество с такой операцией, удовлетворяющей таким аксиомам, однозначно определяет банахово пространство, замкнутым единичным шаром которого оно является.
На современном жаргоне можно сказать, что категория банаховых пространств с контракциями в качестве морфизмов эквивалентна категории алгебр над соответствующей монадой на категории множеств. Что это за монада? Если быть точным, то она сопоставляет произвольному множеству X подлежащее множество единичного шара банахова пространства эль-один последовательностей чисел, индексированных элементами Х. Т.е., множество всех таких последовательностей с суммой абсолютных величин значений во всех точках, не превосходящей единицу. Конечно, носитель каждой такой последовательности не более, чем счетен (какова бы ни была мощность X). Поэтому говорят, что категория банаховых пространств с контракциями в качестве морфизмов "алеф-один локально представима" (алеф-один здесь фигурирует как кардинал, непосредственно следующий за счетным кардиналом).
Update: оказывается, вышеизложенное совершенно неверно, а я запутался. Объекты вышеописанной "алгебраической версии категории банаховых пространств" называются тотально выпуклыми пространствами. Банаховы пространства образуют в их категории полную подкатегорию, как утверждается, рефлективную. Обе категории алеф-один локально представимы.
Вот пример тотально выпуклого пространства, не являющегося единичным шаром банахова пространства: взять замкнутый единичный шар любого банахова пространства (например, одномерного -- отрезок [-1,1]) и профакторизовать по отношению эквивалентности, склеивающему все внутренние точки в одну толстую точку. Кроме того, открытый единичный шар любого банахова пространства тоже является тотально выпуклым пространством.