![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Прокогерентные кольца и fp-инъективные дискретные модули - 0
Топологическое кольцо называется прокогерентным слева, если его можно представить в виде проективного предела последовательности когерентных слева колец и сюръективных морфизмов с ядрами, являющимися конечно-порожденными левыми идеалами (снабженного топологией проективного предела).
Почему такое определение -- в смысле, зачем условие, что ядра конечно порождены как левые идеалы? Затем, что первое ключевое понятие, связанное с когерентными кольцами -- это конечно-представимые модули.
Дискретный модуль над прокогерентным слева кольцом называется конечно представимым, если его структура модуля происходит из структуры модуля над одним из колец в проективной системе из определения прокогерентного кольца, причем этот модуль конечно представим.
На самом деле, конечно, это неправильно сформулированное определение, потому что правильная формулировка не должна зависеть от выбора проективной системы, представляющей данное прокольцо/топологическое кольцо.
Правильное определение могло бы, например, требовать, чтобы функтор Hom из нашего модуля коммутировал с направленными индуктивными пределами модулей по второму аргументу, как обычно делают в теории категорий. Тогда надо доказывать, что 1. всякий конечно представимый модуль является модулем над некоторым дискретным факторкольцом нашего топологического кольца, 2. над любым кольцом из проективной системы этот модуль конечно представим, и 3. наоборот, любой конечно представимый модуль над кольцом из проективной системы конечно представим над прокогерентным кольцом.
Еще более фундаментальный подход состоял бы в том, чтобы определить понятие разумного (reasonable) дискретного факторкольца прокогерентного кольца как такого факторкольца, что если оно оказывается факторкольцом другого, большего дискретного факторкольца этого прокогерентного кольца, то соответствующее ядро конечно порождено как левый идеал. После этого надо проверять, что любое факторкольцо разумного факторкольца прокогерентного кольца по конечно порожденному слева двустороннему идеалу разумно и кольца из проективной системы разумны. Заодно надо бы разобраться, какие из этих утверждений на самом деле зависят от условия когерентности колец в проективной системе, а какие только от условия конечной порожденности идеалов.
Как бы там ни было, ответ на исходный вопрос прост: нас интересуют конечно-представимые модули. Так вот, условие конечной порожденности слева идеалов-ядер нужно для того, чтобы модуль, конечно представимый над одним из колец в цепочке, был также конечно представим над любым последующим кольцом (и наоборот).
Почему такое определение -- в смысле, зачем условие, что ядра конечно порождены как левые идеалы? Затем, что первое ключевое понятие, связанное с когерентными кольцами -- это конечно-представимые модули.
Дискретный модуль над прокогерентным слева кольцом называется конечно представимым, если его структура модуля происходит из структуры модуля над одним из колец в проективной системе из определения прокогерентного кольца, причем этот модуль конечно представим.
На самом деле, конечно, это неправильно сформулированное определение, потому что правильная формулировка не должна зависеть от выбора проективной системы, представляющей данное прокольцо/топологическое кольцо.
Правильное определение могло бы, например, требовать, чтобы функтор Hom из нашего модуля коммутировал с направленными индуктивными пределами модулей по второму аргументу, как обычно делают в теории категорий. Тогда надо доказывать, что 1. всякий конечно представимый модуль является модулем над некоторым дискретным факторкольцом нашего топологического кольца, 2. над любым кольцом из проективной системы этот модуль конечно представим, и 3. наоборот, любой конечно представимый модуль над кольцом из проективной системы конечно представим над прокогерентным кольцом.
Еще более фундаментальный подход состоял бы в том, чтобы определить понятие разумного (reasonable) дискретного факторкольца прокогерентного кольца как такого факторкольца, что если оно оказывается факторкольцом другого, большего дискретного факторкольца этого прокогерентного кольца, то соответствующее ядро конечно порождено как левый идеал. После этого надо проверять, что любое факторкольцо разумного факторкольца прокогерентного кольца по конечно порожденному слева двустороннему идеалу разумно и кольца из проективной системы разумны. Заодно надо бы разобраться, какие из этих утверждений на самом деле зависят от условия когерентности колец в проективной системе, а какие только от условия конечной порожденности идеалов.
Как бы там ни было, ответ на исходный вопрос прост: нас интересуют конечно-представимые модули. Так вот, условие конечной порожденности слева идеалов-ядер нужно для того, чтобы модуль, конечно представимый над одним из колец в цепочке, был также конечно представим над любым последующим кольцом (и наоборот).