![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Полупроизводная категория квазикогерентных пучков кручения на инд-схеме - 1
Квазикогерентным пучком кручения на инд-схеме называется правило, сопоставляющее любой ее замкнутой подсхеме квазикогерентный пучок на ней таким образом, что когда одна замкнутая подсхема содержится в другой, пучок меньшей из двух замкнутых подсхем получается из пучка на большей замкнутой подсхеме применением функтора максимального подпучка с (теоретико-схемным) носителем на замкнутой подсхеме.
Операции ядра морфизма, бесконечной прямой суммы и фильтрованного прямого предела в категории квазикогерентных пучков кручения строятся очевидным образом и коммутируют с функторами взятия компоненты (ограничения с носителем) на замнутой подсхеме. Чтобы построить коядро морфизма квазикогерентных пучков кручения, нужно взять коядро на каждой замкнутой подсхеме, рассмотреть его как квазикогерентный пучок кручения на инд-схеме (сосредоточенный на замкнутой подсхеме), и перейти к прямому пределу таких квазикогерентных пучков кручения по всем замкнутым подсхемам.
Ключевую роль играет пара сопряженных функторов: взятие компоненты (ограничение с носителем) на замкнутой подсхеме -- прямой образ с замкнутой подсхемы. Второй функтор должен быть точен; первый точен слева; оба коммутируют с бесконечными прямыми суммами и фильтрованными прямыми пределами. (Такая же пара сопряженных функторов имеется и для любой замкнутой инд-подсхемы.) Как-то там должно проверяться, что категория квазикогерентных пучков кручения абелева (а также является категорией Гротендика).
Квазикогерентный пучок кручения на инд-схеме инъективен тогда и только тогда, когда все его ограничения с носителем на замкнутые подсхемы являются инъективными квазикогерентными пучками.
В случае инд-нетеровой инд-схемы, будем называть квазикогерентный пучок кручения когерентным, если он является прямым образом когерентного пучка с замкнутой подсхемы. Категория когерентных пучков кручения на инд-нетеровой инд-схеме нетерова. Категория квазикогерентных пучков кручения на инд-нетеровой инд-схеме эквивалентна категории инд-объектов в категории когерентных пучков кручения.
Операции ядра морфизма, бесконечной прямой суммы и фильтрованного прямого предела в категории квазикогерентных пучков кручения строятся очевидным образом и коммутируют с функторами взятия компоненты (ограничения с носителем) на замнутой подсхеме. Чтобы построить коядро морфизма квазикогерентных пучков кручения, нужно взять коядро на каждой замкнутой подсхеме, рассмотреть его как квазикогерентный пучок кручения на инд-схеме (сосредоточенный на замкнутой подсхеме), и перейти к прямому пределу таких квазикогерентных пучков кручения по всем замкнутым подсхемам.
Ключевую роль играет пара сопряженных функторов: взятие компоненты (ограничение с носителем) на замкнутой подсхеме -- прямой образ с замкнутой подсхемы. Второй функтор должен быть точен; первый точен слева; оба коммутируют с бесконечными прямыми суммами и фильтрованными прямыми пределами. (Такая же пара сопряженных функторов имеется и для любой замкнутой инд-подсхемы.) Как-то там должно проверяться, что категория квазикогерентных пучков кручения абелева (а также является категорией Гротендика).
Квазикогерентный пучок кручения на инд-схеме инъективен тогда и только тогда, когда все его ограничения с носителем на замкнутые подсхемы являются инъективными квазикогерентными пучками.
В случае инд-нетеровой инд-схемы, будем называть квазикогерентный пучок кручения когерентным, если он является прямым образом когерентного пучка с замкнутой подсхемы. Категория когерентных пучков кручения на инд-нетеровой инд-схеме нетерова. Категория квазикогерентных пучков кручения на инд-нетеровой инд-схеме эквивалентна категории инд-объектов в категории когерентных пучков кручения.