![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Контрпример неконтраприспособленной абелевой группы
Пусть p -- простое число. Абелева группа C называется p-контраприспособленной, если ExtZ1(Z[p−1], C) = 0. Нетрудно видеть, что для любой p-контраприспособленной абелевой группы C естественное отображение в проективный предел C → limn C/pnC сюръективно.
Верно ли обратное, или (что казалось бы более вероятным) можно привести пример не-p-контраприспособленной абелевой группы A с сюръективным отображением A → limn A/pnA ? Нетрудно убедиться, что такая группа A обязана содержать нетривиальные элементы p-кручения.
Update: Ага, да: есть вроде бы у меня довольно замысловатый контрпример, конструкция которого использует ультрафильтры и черта в ступе. Сейчас соберусь, может быть, с мыслями и запишу его здесь. Uupdate: ну, или если не ультрафильтры, то аксиому выбора (инъективность делимых абелевых групп) уж во всяком случае.
Uuupdate: в общем, короче, идея такая. В категории абелевых групп есть две подкатегории: подкатегория p-полных в наивном смысле (или, точнее сказать, p-полных и p-отделимых) абелевых групп (для которых C → limn C/pnC -- изоморфизм) и подкатегория p-контрамодулей; вторая содержит первую. Функторы вложения обеих подкатегорий имеют левые сопряженные (как бы проекторы на соответствующие подкатегории).
Для подкатегории p-полных абелевых групп такой функтор как раз переводит C в limn C/pnC, а для подкатегории p-контрамодулей этот функтор вычисляется как ExtZ1(Z[p−1]/Z, C). Теперь p-контраприспособленные абелевы группы -- это в точности те, для которых естественное отображение в их p-контрамодульную аппроксимацию C → ExtZ1(Z[p−1]/Z, C) сюръективно.
Пусть C -- какой-нибудь p-контрамодуль, не являющийся p-полной абелевой группой в наивном смысле; реально это значит, что C не p-отделим, т.е. пересечение подгрупп pnC в C не равно нулю. Обозначим это пересечение через D; тогда limn C/pnC = C/D. Искомый контрпример не-p-контраприспособленной абелевой группы A будет собственной подгруппой в C, которая должна удовлетворять двум условиям: она сюръективно проецируется на C/D, и факторгруппа C/A является Z[p−1]-модулем.
Почему этого достаточно? В самом деле, Z/pnZ ⊗Z C = (ввиду второго условия) = Z/pnZ ⊗Z A, так что limn A/pnA = limn C/pnC = C/D, и (ввиду первого условия) отображение A → limn A/pnA сюръективно. С другой стороны, если бы группа A была p-контраприспособленной, то она была бы p-контрамодулем, поскольку p-делимых подгрупп в ней нет (поскольку их нет в C); тогда p-контрамодулем была бы и факторгруппа C/A, что невозможно для ненулевой p-делимой группы.
Чтобы построить такую подгруппу A ⊂ C, рассмотрим конкретный пример не p-отделимого p-контрамодуля C, а именно, классический пример, где C является факторгруппой группы всех сходящихся к нулю последовательностей целых p-адических чисел c0, c1, c2, … по подгруппе всех последовательностей вида e0, pe1, p2e2, …, где последовательность целых p-адических чисел ei также стремится к нулю. Подгруппа D = ∩n pnC состоит из классов всех последовательностей вида d0, pd1, p2d2, …, где последовательность целых p-адических чисел di сходиться к нулю уже не обязана, а может быть произвольной.
Группа D, таким образом, изоморфна факторгруппе группы всех последовательностей целых p-адических чисел по подгруппе последовательностей, сходящихся к нулю. Нетрудно видеть, что в такую группу можно вложить в качестве подгруппы прямую сумму счетного числа копий группы целых p-адических чисел (разбить множество индексов i в объединение счетного числа счетных множеств, рассмотреть прямую сумму счетного числа копий диагональных вложений Zp в прямое произведение счетного числа копий Zp каждая, заметить, что такая последовательность не может сходиться к нулю, если она не нулевая).
Прямую сумму счетного числа копий группы целых p-адических чисел можно сюръективно отобразить на группу всех рациональных p-адических чисел. Полученное сюръективное отображение из подгруппы в D на Qp продолжается на всю группу D и далее на C, поскольку Qp делима. Возьмем в качестве подгруппы A ⊂ C ядро полученного сюръективного гомоморфизма групп C → Qp. Поскольку отображение D → C/A = Qp сюръективно, сюръективно и отображение A → C/D.
Верно ли обратное, или (что казалось бы более вероятным) можно привести пример не-p-контраприспособленной абелевой группы A с сюръективным отображением A → limn A/pnA ? Нетрудно убедиться, что такая группа A обязана содержать нетривиальные элементы p-кручения.
Update: Ага, да: есть вроде бы у меня довольно замысловатый контрпример, конструкция которого использует ультрафильтры и черта в ступе. Сейчас соберусь, может быть, с мыслями и запишу его здесь. Uupdate: ну, или если не ультрафильтры, то аксиому выбора (инъективность делимых абелевых групп) уж во всяком случае.
Uuupdate: в общем, короче, идея такая. В категории абелевых групп есть две подкатегории: подкатегория p-полных в наивном смысле (или, точнее сказать, p-полных и p-отделимых) абелевых групп (для которых C → limn C/pnC -- изоморфизм) и подкатегория p-контрамодулей; вторая содержит первую. Функторы вложения обеих подкатегорий имеют левые сопряженные (как бы проекторы на соответствующие подкатегории).
Для подкатегории p-полных абелевых групп такой функтор как раз переводит C в limn C/pnC, а для подкатегории p-контрамодулей этот функтор вычисляется как ExtZ1(Z[p−1]/Z, C). Теперь p-контраприспособленные абелевы группы -- это в точности те, для которых естественное отображение в их p-контрамодульную аппроксимацию C → ExtZ1(Z[p−1]/Z, C) сюръективно.
Пусть C -- какой-нибудь p-контрамодуль, не являющийся p-полной абелевой группой в наивном смысле; реально это значит, что C не p-отделим, т.е. пересечение подгрупп pnC в C не равно нулю. Обозначим это пересечение через D; тогда limn C/pnC = C/D. Искомый контрпример не-p-контраприспособленной абелевой группы A будет собственной подгруппой в C, которая должна удовлетворять двум условиям: она сюръективно проецируется на C/D, и факторгруппа C/A является Z[p−1]-модулем.
Почему этого достаточно? В самом деле, Z/pnZ ⊗Z C = (ввиду второго условия) = Z/pnZ ⊗Z A, так что limn A/pnA = limn C/pnC = C/D, и (ввиду первого условия) отображение A → limn A/pnA сюръективно. С другой стороны, если бы группа A была p-контраприспособленной, то она была бы p-контрамодулем, поскольку p-делимых подгрупп в ней нет (поскольку их нет в C); тогда p-контрамодулем была бы и факторгруппа C/A, что невозможно для ненулевой p-делимой группы.
Чтобы построить такую подгруппу A ⊂ C, рассмотрим конкретный пример не p-отделимого p-контрамодуля C, а именно, классический пример, где C является факторгруппой группы всех сходящихся к нулю последовательностей целых p-адических чисел c0, c1, c2, … по подгруппе всех последовательностей вида e0, pe1, p2e2, …, где последовательность целых p-адических чисел ei также стремится к нулю. Подгруппа D = ∩n pnC состоит из классов всех последовательностей вида d0, pd1, p2d2, …, где последовательность целых p-адических чисел di сходиться к нулю уже не обязана, а может быть произвольной.
Группа D, таким образом, изоморфна факторгруппе группы всех последовательностей целых p-адических чисел по подгруппе последовательностей, сходящихся к нулю. Нетрудно видеть, что в такую группу можно вложить в качестве подгруппы прямую сумму счетного числа копий группы целых p-адических чисел (разбить множество индексов i в объединение счетного числа счетных множеств, рассмотреть прямую сумму счетного числа копий диагональных вложений Zp в прямое произведение счетного числа копий Zp каждая, заметить, что такая последовательность не может сходиться к нулю, если она не нулевая).
Прямую сумму счетного числа копий группы целых p-адических чисел можно сюръективно отобразить на группу всех рациональных p-адических чисел. Полученное сюръективное отображение из подгруппы в D на Qp продолжается на всю группу D и далее на C, поскольку Qp делима. Возьмем в качестве подгруппы A ⊂ C ядро полученного сюръективного гомоморфизма групп C → Qp. Поскольку отображение D → C/A = Qp сюръективно, сюръективно и отображение A → C/D.