![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Век живи, век учись (абелевы группы кокручения и контраприспособленные)
1. Абелева группа является группой кокручения тогда и только тогда, когда она изоморфна бесконечному произведению, занумерованному точками спектра кольца целых чисел, где общей точке соответствует делимая абелева группа, а над простыми точками p висят Zp-контрамодули. (Представить произвольную абелеву группу кокручения (не содержащую делимых подгрупп) в виде коядра вложения плоских групп кокручения и использовать классификацию плоских модулей кокручения над нетеровым кольцом.)
2. Функтор, сопряженный слева к вложению категории Zp-контрамодулей в категорию абелевых групп есть функтор ExtZ1(Qp/Zp,−). Это общая ситуация: если R-коммутативное кольцо и s -- его элемент, не делитель нуля, то функтор, сопряженный слева к вложению s-контрамодульных R-модулей во все R-модули вычисляется как ExtR1(R[s−1]/R,−). (Без предположения, что s не делитель нуля, надо вместо фактормодуля рассматривать конус морфизма R → R[s−1], ну и дальше это обобщается на случай конечной последовательности элементов s, как описано в текстах про MGM-двойственность.)
3. Рассмотрев длинную точную последовательность Ext из короткой точной последовательности 0 → Z → Q → ⊕p Qp/Zp → 0 в произвольную абелеву группу A, можно убедиться, что естественное отображение из факторгруппы A по ее максимальной делимой подгруппе в произведение ее p-контрамодульных аппроксимаций инъективно с коядром, являющимся Q-векторным пространством (и в частности, плоской абелевой группой). Так строится оболочка кокручения произвольной абелевой группы. Заодно получается критерий: абелева группа P является группой кокручения тогда и только тогда, когда ExtZ1(Q,P) = 0.
4. Рассмотрев длинную точную последовательность Ext из короткой точной последовательности 0 → Z → Z[1/n] → ⊕p|n Qp/Zp → 0, можно убедиться, что абелева группа контраприспособлена тогда и только тогда, когда ее естественное отображение в произведение любого конечного набора ее контрамодульных аппроксимаций (соответствующего конечному множеству простых чисел) сюръективно. Таким образом, контраприспособленные абелевы группы суть в точности прямые суммы делимых абелевых групп и подгрупп в произведениях p-контрамодулей по всем p, сюръективно отображающихся на произведения любого конечного подмножества контрамодулей-сомножителей, факторгруппы всего бесконечного произведения по которым являются Q-векторными пространствами. Например, бесконечная прямая сумма по p любого набора Zp-контрамодулей (среди которых бесконечно много ненулевых) -- контраприспособленная абелева группа, не являющаяся группой кокручения.
Слова "абелева группа" всюду выше на слова "модуль над дедекиндовым кольцом" можно заменить.
5. При всем при том, я не знаю ни одного нетривиального явного примера резольвенты абелевой группы в очень плоской теории кокручения. Как вложить Z в контраприспособленную абелеву группу, чтобы факторгруппа была очень плоской? Как представить Z/pZ в виде факторгруппы очень плоской абелевой группы по контраприспособленной? Возможно, трудность построения в явном виде таких резольвент как-то связана с результатами о несуществовании квазиуниверсальных морфизмов соответствующих классов (очень плоских покрытий и контраприспособленных оболочек), анонсировавшимися на конференции в Праге.
2. Функтор, сопряженный слева к вложению категории Zp-контрамодулей в категорию абелевых групп есть функтор ExtZ1(Qp/Zp,−). Это общая ситуация: если R-коммутативное кольцо и s -- его элемент, не делитель нуля, то функтор, сопряженный слева к вложению s-контрамодульных R-модулей во все R-модули вычисляется как ExtR1(R[s−1]/R,−). (Без предположения, что s не делитель нуля, надо вместо фактормодуля рассматривать конус морфизма R → R[s−1], ну и дальше это обобщается на случай конечной последовательности элементов s, как описано в текстах про MGM-двойственность.)
3. Рассмотрев длинную точную последовательность Ext из короткой точной последовательности 0 → Z → Q → ⊕p Qp/Zp → 0 в произвольную абелеву группу A, можно убедиться, что естественное отображение из факторгруппы A по ее максимальной делимой подгруппе в произведение ее p-контрамодульных аппроксимаций инъективно с коядром, являющимся Q-векторным пространством (и в частности, плоской абелевой группой). Так строится оболочка кокручения произвольной абелевой группы. Заодно получается критерий: абелева группа P является группой кокручения тогда и только тогда, когда ExtZ1(Q,P) = 0.
4. Рассмотрев длинную точную последовательность Ext из короткой точной последовательности 0 → Z → Z[1/n] → ⊕p|n Qp/Zp → 0, можно убедиться, что абелева группа контраприспособлена тогда и только тогда, когда ее естественное отображение в произведение любого конечного набора ее контрамодульных аппроксимаций (соответствующего конечному множеству простых чисел) сюръективно. Таким образом, контраприспособленные абелевы группы суть в точности прямые суммы делимых абелевых групп и подгрупп в произведениях p-контрамодулей по всем p, сюръективно отображающихся на произведения любого конечного подмножества контрамодулей-сомножителей, факторгруппы всего бесконечного произведения по которым являются Q-векторными пространствами. Например, бесконечная прямая сумма по p любого набора Zp-контрамодулей (среди которых бесконечно много ненулевых) -- контраприспособленная абелева группа, не являющаяся группой кокручения.
Слова "абелева группа" всюду выше на слова "модуль над дедекиндовым кольцом" можно заменить.
5. При всем при том, я не знаю ни одного нетривиального явного примера резольвенты абелевой группы в очень плоской теории кокручения. Как вложить Z в контраприспособленную абелеву группу, чтобы факторгруппа была очень плоской? Как представить Z/pZ в виде факторгруппы очень плоской абелевой группы по контраприспособленной? Возможно, трудность построения в явном виде таких резольвент как-то связана с результатами о несуществовании квазиуниверсальных морфизмов соответствующих классов (очень плоских покрытий и контраприспособленных оболочек), анонсировавшимися на конференции в Праге.