![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
MGM-двойственность и ко-контра соответствие - 8
Продолжение серии постингов http://posic.livejournal.com/1102817.html и далее по ссылкам
Попросту, мутная философия из предыдущего постинга означает следующее. Эквивалентность между обычными производными категориями квазикогерентных пучков кручения и контрагерентных копучков на формальном пополнении Z нетеровой схемы X вдоль ее замкнутой подсхемы Y задается функторами контратензорного произведения с и контрагерентных гомоморфизмов из конечного комплекса пучков кручения на Z -- образа пучка OX при правом производном функторе перехода к максимальному подпучку, сосредоточенному теоретико-множественно на Y, или, лучше сказать, являющемуся пучком кручения на Z. На языке формул, этот комплекс называется RiZ! OX = ind-limn RiYn! OX -- прямой предел по инфинитезимальным утолщениям Y внутри X экстраординарных производных ограничений структурного пучка схемы X на эти замкнутые подсхемы.
Будем обозначать морфизм вложения формальной подсхемы просто через i: Z → X. Предположим сначала, что X = Spec A -- аффинная нетерова схема, Y = Spec A/I, и идеал I ⊂ A порожден конечным набором элементов ri. Тогда комплекс i*Ri!OX, рассматриваемый как объект производной категориии D(X-qcoh), как раз представляется конечным комплексом свободных A-модулей, рассматриваемым в работе Dwyer-Greenlees (см. третий постинг http://posic.livejournal.com/1098133.html в этой серии). Последний комплекс строится как (гомотопический) прямой предел комплексов Кошуля фиксированной длины, равной числу образующих ri идеала I; так что получается комплекс конечной длины, составленный из свободных A-модулей бесконечного ранга.
Заметим теперь, что объект Ri!OX является конечным комплексом конечной проективной размерности в абелевой категории квазикогерентных пучков кручения Z-tors. В самом деле, достаточно рассмотреть случай аффинных схем. Тогда этот комплекс ацикличен в высоких когомологических степенях, поскольку таков его прямой образ при морфизме i (так что, будучи комплексом, ограниченным снизу, он был бы изоморфен конечному комплексу даже в копроизводной категории квазикогерентных пучков кручения). Далее, для любого объекта F из Z-tors,
ExtZ-tors(Ri!OX, F) = ExtX-qcoh(i*Ri!OX, i*F),
что равно нулю в высоких когомологических степенях в силу того же вычисления объекта i*Ri!OX в D(X-qcoh). Заметим, что в категории квазикогерентных модулей кручения R-tors, даже для аффинной формальной схемы Z = Specf R, нет, вообще говоря, никаких проективных объектов -- что не мешает существованию там конечных комплексов (а иногда и объектов) конечной проективной размерности.
Наконец, связь с конструкцией из второго постинга http://posic.livejournal.com/1096155.html этой серии, использующей открытое дополнение U к формальной подсхеме Z в X, осуществляется, конечно, выделенным треугольником i*Ri!OX → OX → Rj*j*OX → в производной категории D(X-qcoh). Треугольник этот, кстати, является заодно и простейшим альтернативным способом доказательства двусторонней ограниченности и конечности плоской/очень плоской/проективной размерности комплекса i*Ri!OX.
Попросту, мутная философия из предыдущего постинга означает следующее. Эквивалентность между обычными производными категориями квазикогерентных пучков кручения и контрагерентных копучков на формальном пополнении Z нетеровой схемы X вдоль ее замкнутой подсхемы Y задается функторами контратензорного произведения с и контрагерентных гомоморфизмов из конечного комплекса пучков кручения на Z -- образа пучка OX при правом производном функторе перехода к максимальному подпучку, сосредоточенному теоретико-множественно на Y, или, лучше сказать, являющемуся пучком кручения на Z. На языке формул, этот комплекс называется RiZ! OX = ind-limn RiYn! OX -- прямой предел по инфинитезимальным утолщениям Y внутри X экстраординарных производных ограничений структурного пучка схемы X на эти замкнутые подсхемы.
Будем обозначать морфизм вложения формальной подсхемы просто через i: Z → X. Предположим сначала, что X = Spec A -- аффинная нетерова схема, Y = Spec A/I, и идеал I ⊂ A порожден конечным набором элементов ri. Тогда комплекс i*Ri!OX, рассматриваемый как объект производной категориии D(X-qcoh), как раз представляется конечным комплексом свободных A-модулей, рассматриваемым в работе Dwyer-Greenlees (см. третий постинг http://posic.livejournal.com/1098133.html в этой серии). Последний комплекс строится как (гомотопический) прямой предел комплексов Кошуля фиксированной длины, равной числу образующих ri идеала I; так что получается комплекс конечной длины, составленный из свободных A-модулей бесконечного ранга.
Заметим теперь, что объект Ri!OX является конечным комплексом конечной проективной размерности в абелевой категории квазикогерентных пучков кручения Z-tors. В самом деле, достаточно рассмотреть случай аффинных схем. Тогда этот комплекс ацикличен в высоких когомологических степенях, поскольку таков его прямой образ при морфизме i (так что, будучи комплексом, ограниченным снизу, он был бы изоморфен конечному комплексу даже в копроизводной категории квазикогерентных пучков кручения). Далее, для любого объекта F из Z-tors,
ExtZ-tors(Ri!OX, F) = ExtX-qcoh(i*Ri!OX, i*F),
что равно нулю в высоких когомологических степенях в силу того же вычисления объекта i*Ri!OX в D(X-qcoh). Заметим, что в категории квазикогерентных модулей кручения R-tors, даже для аффинной формальной схемы Z = Specf R, нет, вообще говоря, никаких проективных объектов -- что не мешает существованию там конечных комплексов (а иногда и объектов) конечной проективной размерности.
Наконец, связь с конструкцией из второго постинга http://posic.livejournal.com/1096155.html этой серии, использующей открытое дополнение U к формальной подсхеме Z в X, осуществляется, конечно, выделенным треугольником i*Ri!OX → OX → Rj*j*OX → в производной категории D(X-qcoh). Треугольник этот, кстати, является заодно и простейшим альтернативным способом доказательства двусторонней ограниченности и конечности плоской/очень плоской/проективной размерности комплекса i*Ri!OX.