![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
MGM-двойственность и ко-контра соответствие - 7
Продолжение http://posic.livejournal.com/1101059.html
Как же сформулировать конструкцию эквивалентности между D(C-comod) и D(C-contra) в этих примерах напрямую, не прибегая к описанию формальной схемы как дополнения к открытой подсхеме? Что это все-таки за комплекс, играющий роль ядра в паре сопряженных функторов контратензорного произведения и контрагерентных гомоморфизмов, индуцирующих эту эквивалентность?
Сформулировать соответствующую философию/эвристику непросто, поскольку она отличается от обычных интуиций. Очевидной идеей было бы, что в формальном пополнении замкнутой подсхемы Y в схеме X имеются "направления вдоль Y" и "направления в X, трансверсальные к Y" -- но это не то, что здесь нужно.
Правильная мысль звучит, кажется, примерно так: формальная окрестность Y в X -- это что-то отчасти вроде очень маленькой открытой окрестности Y в X, но не совсем. Обычно я объяснял студентам так: формальная окрестность -- это, значит, вы берете ножницы и вырезаете из X бесконечно тонкую полоску вдоль Y. В данном же контесте нужно сказать, что формальная окрестность Y в X содержит (как подобает открытой окрестности) все направления, имеющиеся в X -- но наряду с этим, поскольку она очень тонкая, в ней проявляются дополнительные граничные эффекты, создаваемые линией отреза.
Обозначим эту формальную окрестность через Z, как раньше. Тогда идея в том, что в направлениях вдоль X формальная схема ведет себя, как обычная схема, то есть локально это кольцо A, и для эквивалентности между D(A-mod) и D(A-mod) достаточно использовать A в роли ядра. В направлениях глобальной склейки гомологическая размерность конечна в предположениях квазикомпактности и т.п., подразумеваемых в условии глобальной нетеровости.
Более нетривиальное/неожиданное наблюдение в том, что (в предположениях нетеровости) гомологическая размерность конечна и в направлениях граничного среза тоже. В каком-то смысле, именно на это указывает наш первоначальный аргумент с открытым дополнением к Y в X и его конечным аффинным открытым покрытием. При этом граничный срез (так же, как и глобальная склейка) -- это "переменные коалгебры". (Не той коалгебры C, которая выше, а некой новой, условно-вспомогательной; назовем ее пока, скажем, D.)
Если так, то ясно, что нужно делать: где гомологическая размерность конечна, там нет разницы между производными категориями первого и второго рода, так что мы можем с тем же успехом воображать, что у нас ко/контрапроизводная категория в этих направлениях. И тогда для построения ко-контра соответствия нам нужна в этих направлениях "сама коалгебра D как (би)комодуль над собой" в роли ядра. С точки зрения алгебры D*, условно-двойственной к коалгебре D, это выглядит как некий канонический дуализирующий комплекс.
Как же сформулировать конструкцию эквивалентности между D(C-comod) и D(C-contra) в этих примерах напрямую, не прибегая к описанию формальной схемы как дополнения к открытой подсхеме? Что это все-таки за комплекс, играющий роль ядра в паре сопряженных функторов контратензорного произведения и контрагерентных гомоморфизмов, индуцирующих эту эквивалентность?
Сформулировать соответствующую философию/эвристику непросто, поскольку она отличается от обычных интуиций. Очевидной идеей было бы, что в формальном пополнении замкнутой подсхемы Y в схеме X имеются "направления вдоль Y" и "направления в X, трансверсальные к Y" -- но это не то, что здесь нужно.
Правильная мысль звучит, кажется, примерно так: формальная окрестность Y в X -- это что-то отчасти вроде очень маленькой открытой окрестности Y в X, но не совсем. Обычно я объяснял студентам так: формальная окрестность -- это, значит, вы берете ножницы и вырезаете из X бесконечно тонкую полоску вдоль Y. В данном же контесте нужно сказать, что формальная окрестность Y в X содержит (как подобает открытой окрестности) все направления, имеющиеся в X -- но наряду с этим, поскольку она очень тонкая, в ней проявляются дополнительные граничные эффекты, создаваемые линией отреза.
Обозначим эту формальную окрестность через Z, как раньше. Тогда идея в том, что в направлениях вдоль X формальная схема ведет себя, как обычная схема, то есть локально это кольцо A, и для эквивалентности между D(A-mod) и D(A-mod) достаточно использовать A в роли ядра. В направлениях глобальной склейки гомологическая размерность конечна в предположениях квазикомпактности и т.п., подразумеваемых в условии глобальной нетеровости.
Более нетривиальное/неожиданное наблюдение в том, что (в предположениях нетеровости) гомологическая размерность конечна и в направлениях граничного среза тоже. В каком-то смысле, именно на это указывает наш первоначальный аргумент с открытым дополнением к Y в X и его конечным аффинным открытым покрытием. При этом граничный срез (так же, как и глобальная склейка) -- это "переменные коалгебры". (Не той коалгебры C, которая выше, а некой новой, условно-вспомогательной; назовем ее пока, скажем, D.)
Если так, то ясно, что нужно делать: где гомологическая размерность конечна, там нет разницы между производными категориями первого и второго рода, так что мы можем с тем же успехом воображать, что у нас ко/контрапроизводная категория в этих направлениях. И тогда для построения ко-контра соответствия нам нужна в этих направлениях "сама коалгебра D как (би)комодуль над собой" в роли ядра. С точки зрения алгебры D*, условно-двойственной к коалгебре D, это выглядит как некий канонический дуализирующий комплекс.