![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Теории локализации для локально свободных матричных факторизаций нет
From: Alexander Efimov
To: Leonid Positselski
Date: June 10, 2014
Subj: Locally free matrix factorizations
Привет!
Я обнаружил, что наши предположения про локально свободные факторизации оказались не верны. Точнее, не верна теорема о локализации.
А именно, возьмем квадратичный конус X={xy=zw}\subset \C^4, в качестве потенциала на X возьмем w, и открытое подмножество U\subset X, являющееся дополнением к дивизору D={z=0}\subset X. Тогда ясно, что MF_{l.f.}(U,w)=MF_{coh}(U,W)=D^b_{\Z/2}(\C-{0}), где MF_{l.f.} --- лок. своб. матричные факторизации, MF_{coh} --- когерентные м.ф., и D^b_{\Z/2} --- 2-периодическая производная категория когерентных пучков. В то же время можно проверить, что MF_{l.f.}(X,w)=D^b_{\Z/2,\C-{0}}(\C), т.е. подкатегория D^b_{\Z/2}(\C), состоящая из комплексов, у которых носитель когомологий содержится в \C-{0} (т.е. носитель --- конечное множество, не содержащее 0). Функтор ограничения MF_{l.f.}(X,w)\to MF_{l.f.}(U,w) --- это просто вложение D^b_{\Z/2,\C-{0}}(\C)\to D^b_{\Z/2}(\C-{0}). В частности , этот функтор никоим образом не является локализацией (наоборот, он вполне строгий), а его ядро равно 0.
Кроме того, категория MF_{l.f.}(X,w)=D^b_{\Z/2,\C-{0}}(\C) не порождена одним объектов (минимальное порождающее множество объектов континуально).Возможно, есть другая версия определения локально свободных матричных факторизаций, для которой локализация верна.
Саша
***
Ср. с параграфом 3.1 препринта http://arxiv.org/abs/1102.0261 (включая предложение, сформулированное в начале, и замечание в конце параграфа), написанным в ответ на Сашины вопросы и идеи на эту тему. Вот годичной давности постинг, упоминающий об этом -- http://posic.livejournal.com/974440.html
Если Саша посчитал свой пример правильно, то, помимо прочего, мы, наконец, получаем также контрпример многообразия с не делящим ноль потенциалом, для которого абсолютная производная категория когерентных матричных факторизаций отличается от своей полной подкатегории, состоящей из локально свободных матричных факторизаций конечного ранга (и от ее толстого замыкания). Ср. с двумя абзацами между формулировкой и доказательством следствия в параграфе 2.5 того же препринта, а также с почти трехлетней давности постингами http://posic.livejournal.com/661487.html , http://posic.livejournal.com/661680.html и http://posic.livejournal.com/662001.html , написанными под впечатлением от моих собственных попыток такой контрпример построить.
To: Leonid Positselski
Date: June 10, 2014
Subj: Locally free matrix factorizations
Привет!
Я обнаружил, что наши предположения про локально свободные факторизации оказались не верны. Точнее, не верна теорема о локализации.
А именно, возьмем квадратичный конус X={xy=zw}\subset \C^4, в качестве потенциала на X возьмем w, и открытое подмножество U\subset X, являющееся дополнением к дивизору D={z=0}\subset X. Тогда ясно, что MF_{l.f.}(U,w)=MF_{coh}(U,W)=D^b_{\Z/2}(\C-{0}), где MF_{l.f.} --- лок. своб. матричные факторизации, MF_{coh} --- когерентные м.ф., и D^b_{\Z/2} --- 2-периодическая производная категория когерентных пучков. В то же время можно проверить, что MF_{l.f.}(X,w)=D^b_{\Z/2,\C-{0}}(\C), т.е. подкатегория D^b_{\Z/2}(\C), состоящая из комплексов, у которых носитель когомологий содержится в \C-{0} (т.е. носитель --- конечное множество, не содержащее 0). Функтор ограничения MF_{l.f.}(X,w)\to MF_{l.f.}(U,w) --- это просто вложение D^b_{\Z/2,\C-{0}}(\C)\to D^b_{\Z/2}(\C-{0}). В частности , этот функтор никоим образом не является локализацией (наоборот, он вполне строгий), а его ядро равно 0.
Кроме того, категория MF_{l.f.}(X,w)=D^b_{\Z/2,\C-{0}}(\C) не порождена одним объектов (минимальное порождающее множество объектов континуально).Возможно, есть другая версия определения локально свободных матричных факторизаций, для которой локализация верна.
Саша
***
Ср. с параграфом 3.1 препринта http://arxiv.org/abs/1102.0261 (включая предложение, сформулированное в начале, и замечание в конце параграфа), написанным в ответ на Сашины вопросы и идеи на эту тему. Вот годичной давности постинг, упоминающий об этом -- http://posic.livejournal.com/974440.html
Если Саша посчитал свой пример правильно, то, помимо прочего, мы, наконец, получаем также контрпример многообразия с не делящим ноль потенциалом, для которого абсолютная производная категория когерентных матричных факторизаций отличается от своей полной подкатегории, состоящей из локально свободных матричных факторизаций конечного ранга (и от ее толстого замыкания). Ср. с двумя абзацами между формулировкой и доказательством следствия в параграфе 2.5 того же препринта, а также с почти трехлетней давности постингами http://posic.livejournal.com/661487.html , http://posic.livejournal.com/661680.html и http://posic.livejournal.com/662001.html , написанными под впечатлением от моих собственных попыток такой контрпример построить.