Ну конечно, есть спектральная последовательность. Просто про нее нельзя сказать, что она "связывает когомологии слоя, базы и тотального пространства" (за отсутствием однозначно определенного "слоя").

Если угодно, из категории мотивных пучков на Y должен быть функтор "прямого образа в точку" в категорию мотивов над полем. Этот функтор должен переводить относительный мотив (мотивный пучок) X над Y в (абсолютный) мотив X (над полем). Это отвечает на ваш вопрос?