Как мне показалось, современная теория представлений занимается построением эквивалентностей между абелевыми или триангулированными категориями пучков/модулей, связанными с геометрическими/алгебраическими объектами, происходящими из конечномерных полупростых групп.

"Бесконечномерная группа", конечно, бессодержательное понятие; в самом лучшем случае, можно говорить о конкретных категориях таких групп и характерных примерах объектов этих категорий. Да и это означает очень "теоретическую" и абстрактную точку зрения. Но для меня нет разницы между понятиями "Вирасоро" и "Z-градуированная алгебра Ли с конечномерными компонентами", так уж жизнь сложилась.

Я не сомневаюсь, что нетеоретический подход к математике, упирающийся скорее в примеры, чем в концепции, излюбленный и пропагандированный Гельфандом, имеет свои преимущества. Он закономерен в теории представлений в той мере, в которой простые объекты, будучи классифицированы, образуют некий список. Гельфанд правильно говорил, что основания у любой области появляются к тому времени, когда она уже во многом закончена. Просто я предпочитаю демонстрировать простоту сложного, а вскрывающаяся сложность простого меня только огорчает.

Я, конечно, тоже использую теорию представлений как источник и место приложения гомологических идей. Как и всю остальную математику, впрочем.