Насколько я понимаю, триангулированная категория "без модели" (пока что) "по сути" одна - так что ее можно назвать контрпримером.

В чем-то близкая вещь: вроде бы, бывают изоморфные триангулированные категории с разными моделями, для которых эти модели дают разную К-теорию.