![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Теорема Габриэля-Попеску для категорий контрамодулей
Пусть A -- абелева категория Гротендика, и G -- ее образующий объект. Теорема Габриэля-Попеску утверждает, что фунтор HomA(G,−): A → S-mod, где S = HomA(G,G)op, является вполне строгим и допускает левый сопряженный функтор ("рефлектор"), который является точным функтором. Таким образом, категория A может быть представлена как локализация S-mod по серровской подкатегории, замкнутой относительно бесконечных прямых сумм. Обратно, любая такая локализация категории модулей над кольцом является абелевой категорией Гротендика.
Пусть T: Set → Set -- монада на категории множеств, являющаяся κ-достижимым функтором (т.е., функтором, сохраняющим κ-фильтрованные копределы) для некоторого регулярного кардинала κ. Предположим, что монада T аддитивна, т.е., категория T-модулей/T-алгебр является аддитивной (или, что эквивалентно, абелевой) категорией. Категории вида B = T-mod ("категории моделей аддитивных κ-арных алгебраических теорий") образуют наиболее общий естественный класс абелевых категорий "контрамодульного типа".
Объект T(X) ∈ B называется свободным объектом категории B, порожденным множеством X. Для любого непустого множества X, объект T(X) является проективной образующей категории B. Обратно, кополная абелева категория B с проективной образующей P является категорией модулей над аддитивной монадой X → HomB(P, P(X)) на категории множеств. Такая категория B является категорией моделей аддитивной κ-арной алгебраической теорией тогда и только тогда, когда объект P "абстрактно κ-мал", т.е., всякий морфизм P → P(X) факторизуется через копроизведение копий P, индексированное некоторым подмножеством в X мощности, меньшей κ.
Пусть T: Set → Set -- монада, связанная с κ-арной аддитивной алгебраической теорией, и пусть B -- абелева категория модулей над T. Выберем какое-нибудь множество Z мощности, больше либо равной κ. Положим P = T(Z) и S = HomB(P,P)op. Тогда, как нетрудно видеть, функтор HomB(P,−): B → S-mod -- вполне строгий. Кроме того, этот функтор точен и допускает левый сопряженный функтор ("рефлектор"). Таким образом, категория B может быть представлена как рефлективная полная подкатегория в S-mod с точным функтором вложения, или, другими словами, полная подкатегория в S-mod, замкнутая относительно ядер и коядер морфизмов, а также бесконечных произведений, и рефлективная.
Обратно, пусть S -- ассоциативное кольцо и B -- рефлективная полная подкатегория в S-mod, замкнутая относительно ядер и коядер. Тогда B -- кополная абелева категория с проективной образующей (которую можно построить, применив функтор-рефлектор к S-модулю S). Следовательно, если B локально представима (или достижимо вложена в S-mod, т.е., замкнута относительно κ-фильтрованных копределов в S-mod для некоторого регулярного кардинала κ), то B -- категория моделей κ-арной аддитивной алгебраической теории (ср. [Adamek-Rosicky, Corollary 2.48]).
В предположении принципа Вопенки, полная подкатегория в S-mod замкнута относительно пределов тогда и только тогда, когда она рефлективна, и всякая такая полная подкатегория локально представима [AR, Theorem 6.22 and Corollary 6.24]. Таким образом, категории моделей аддитивных κ-арных алгебраических теорий B суть в точности абелевы рефлективные полные подкатегории в категориях модулей над кольцами S-mod с точными функторами вложения B → S-mod.
P.S. Другими словами, эти утверждения можно сформулировать так. Пусть K -- локально представимая абелева категория и G -- какой-нибудь ее образующий объект. Положим S = HomK(G,G)op. Тогда, согласно [AR, Theorem 1.66], функтор HomK(S,−): K → S-mod имеет левый сопряженный функтор F.
Категория K является категорией Гротендика тогда и только тогда, когда для некоторого, или, что эквивалентно, для любого образующего объекта G ∈ K функтор HomK(G,−) вполне строгий, а функтор F точный. Категория K является категорией моделей некоторой κ-арной алгебраической теории тогда и только тогда, когда для некоторого выбора образующего объекта G ∈ K функтор HomK(G,−) вполне строгий и точный.
Пусть T: Set → Set -- монада на категории множеств, являющаяся κ-достижимым функтором (т.е., функтором, сохраняющим κ-фильтрованные копределы) для некоторого регулярного кардинала κ. Предположим, что монада T аддитивна, т.е., категория T-модулей/T-алгебр является аддитивной (или, что эквивалентно, абелевой) категорией. Категории вида B = T-mod ("категории моделей аддитивных κ-арных алгебраических теорий") образуют наиболее общий естественный класс абелевых категорий "контрамодульного типа".
Объект T(X) ∈ B называется свободным объектом категории B, порожденным множеством X. Для любого непустого множества X, объект T(X) является проективной образующей категории B. Обратно, кополная абелева категория B с проективной образующей P является категорией модулей над аддитивной монадой X → HomB(P, P(X)) на категории множеств. Такая категория B является категорией моделей аддитивной κ-арной алгебраической теорией тогда и только тогда, когда объект P "абстрактно κ-мал", т.е., всякий морфизм P → P(X) факторизуется через копроизведение копий P, индексированное некоторым подмножеством в X мощности, меньшей κ.
Пусть T: Set → Set -- монада, связанная с κ-арной аддитивной алгебраической теорией, и пусть B -- абелева категория модулей над T. Выберем какое-нибудь множество Z мощности, больше либо равной κ. Положим P = T(Z) и S = HomB(P,P)op. Тогда, как нетрудно видеть, функтор HomB(P,−): B → S-mod -- вполне строгий. Кроме того, этот функтор точен и допускает левый сопряженный функтор ("рефлектор"). Таким образом, категория B может быть представлена как рефлективная полная подкатегория в S-mod с точным функтором вложения, или, другими словами, полная подкатегория в S-mod, замкнутая относительно ядер и коядер морфизмов, а также бесконечных произведений, и рефлективная.
Обратно, пусть S -- ассоциативное кольцо и B -- рефлективная полная подкатегория в S-mod, замкнутая относительно ядер и коядер. Тогда B -- кополная абелева категория с проективной образующей (которую можно построить, применив функтор-рефлектор к S-модулю S). Следовательно, если B локально представима (или достижимо вложена в S-mod, т.е., замкнута относительно κ-фильтрованных копределов в S-mod для некоторого регулярного кардинала κ), то B -- категория моделей κ-арной аддитивной алгебраической теории (ср. [Adamek-Rosicky, Corollary 2.48]).
В предположении принципа Вопенки, полная подкатегория в S-mod замкнута относительно пределов тогда и только тогда, когда она рефлективна, и всякая такая полная подкатегория локально представима [AR, Theorem 6.22 and Corollary 6.24]. Таким образом, категории моделей аддитивных κ-арных алгебраических теорий B суть в точности абелевы рефлективные полные подкатегории в категориях модулей над кольцами S-mod с точными функторами вложения B → S-mod.
P.S. Другими словами, эти утверждения можно сформулировать так. Пусть K -- локально представимая абелева категория и G -- какой-нибудь ее образующий объект. Положим S = HomK(G,G)op. Тогда, согласно [AR, Theorem 1.66], функтор HomK(S,−): K → S-mod имеет левый сопряженный функтор F.
Категория K является категорией Гротендика тогда и только тогда, когда для некоторого, или, что эквивалентно, для любого образующего объекта G ∈ K функтор HomK(G,−) вполне строгий, а функтор F точный. Категория K является категорией моделей некоторой κ-арной алгебраической теории тогда и только тогда, когда для некоторого выбора образующего объекта G ∈ K функтор HomK(G,−) вполне строгий и точный.