Если использовать оба базиса Грёбнера, то, вроде, получается довольно короткое рассуждение.
Я буду предполагать, что все модули левые, и, соответственно, вершины в графе Уфнаровского будут префиксами ведущих мономов базиса Грёбнера.
Назовём (n-1)-цепь Аника хорошей, если она проходит лишь через вершины x, y и z соответствующего графа Уфнаровского. Иначе (n-1)-цепь будет называться плохой.
Алгебра с соотношениями x^2+yx, xz,zy биградуирована с
deg(x) = deg (y) = (1,0 ) и deg(z)=(0,1).
Понятно, что эта биградуировка индуцируют биградуировку на цепях Аника и группах кручения.
Скажем, что (i,j) критическая бистепень для n, если
1) i+j >n
2) сущесвуют (n-1)-цепи Аника бистепени (i,j) относительно обоих базисов Грёбнера.
Понятно, что если i+j >n и при этом (i,j) не критична для n то
Torni,j (K,K) =0.
Значит, чтобы доказать Кошулевость достаточно проверить, что Torni,j (K,K) =0 для каждого n и всех (i,j) критичных для этого n.
Вершины графа Уфнаровского для базиса Грёбнера x^2+yx, xz,zy, xy^kx+y^{k+1}x
суть
1, x, y, z, xy^k c k ≥ 1.
В вершину "y" входит лишь стрелка из 1, а в вершину z входит одна стрелка из 1 и одна стрелка из y. В частности, каждая цепь Аника либо не проходит через вершину z, либо проходит через нее в точности один раз. Таким образов бистепень любой цепи Аника будет иметь вид либо (i,0), либо (i,1).
Вершины графа Уфнаровского для базиса Грёбнера yx+x^2, xz,zy, zx^2
суть
1, x, y, z, zx.
Значит любая плохая цепь Аника имеет бистепень (i,j) с j ≥ 1.
Таким образом все критические бистепени должны иметь вид (i,1) для некоторо i.
Заметим, что
a)плохая цепь бистепени (i,1) во втором графе Уфнаровского не может проходить через вершину z.
b) плохая цепь бистепени (i,1) в первом графе Уфнаровского должна проходить через z. Так как в этом графе Уфнаровского есть лишь одна исходящая из z стрелка, и эта стрелка ведет в x, мы получает, что (i,1) может быть критической бистепенью только для n ≥ 3.
Теперь, если выкинуть z из второго графа Уфнаровского, то мы получим граф со стрелками
1 -> x 1 -> y x-> y x -> zx zx -> x
Нас интересуют пути начинающиеся в 1, проходящей через zx в точности один раз, и проходящие не менее чем через 4 вершины (включая 1). Такие пути исчерпываются
1 -> x -> zx -> x
1 -> x -> zx -> x -> y.
Первый путь дает 2-цепь Аника xzx^2 бистепени (3,1), а второй 3-цепь Аника yxzx^2 бистепени (4,1).
Можно проверить, что (3,1) будет критической бистепенью для 2, а (4,1) будет критической для 3.
Утверждение, что xzx^2 и yxzx^2 дают нулевые классы в группах кручения следует из вычислений
d( .yx) = y..x - i ( y d.x)) = y.x - i (yx.) = y.x + i(x^2) = y.x + x.x
d (.zyx) = z.yx - i ( z d(.yx) ) = z.yx - i( zx.x) = z.yx - .zx^2
d( .xzyx ) = x.zyx - i ( x d ( .zyx ) ) = x.zyx + i(x.zx^2) = x.zyx + .xzx^2
d( .yxzyx) = y.xzyx - i ( y d (.xzyx) ) = y.xzyx - i (y.xzx^2) = y.xzyx - .yxzyx
no subject
Я буду предполагать, что все модули левые, и, соответственно, вершины в графе Уфнаровского будут префиксами ведущих мономов базиса Грёбнера.
Назовём (n-1)-цепь Аника хорошей, если она проходит лишь через вершины x, y и z соответствующего графа Уфнаровского. Иначе (n-1)-цепь будет называться плохой.
Алгебра с соотношениями x^2+yx, xz,zy биградуирована с
deg(x) = deg (y) = (1,0 ) и deg(z)=(0,1).
Понятно, что эта биградуировка индуцируют биградуировку на цепях Аника и группах кручения.
Скажем, что (i,j) критическая бистепень для n, если
1) i+j >n
2) сущесвуют (n-1)-цепи Аника бистепени (i,j) относительно обоих базисов Грёбнера.
Понятно, что если i+j >n и при этом (i,j) не критична для n то
Torn i,j (K,K) =0.
Значит, чтобы доказать Кошулевость достаточно проверить, что Torn i,j (K,K) =0 для каждого n и всех (i,j) критичных для этого n.
Вершины графа Уфнаровского для базиса Грёбнера
x^2+yx, xz,zy, xy^kx+y^{k+1}x
суть
1, x, y, z, xy^k c k ≥ 1.
В вершину "y" входит лишь стрелка из 1, а в вершину z входит одна стрелка из 1 и одна стрелка из y.
В частности, каждая цепь Аника либо не проходит через вершину z, либо проходит через нее в точности один раз. Таким образов бистепень любой цепи Аника будет иметь вид либо (i,0), либо (i,1).
Вершины графа Уфнаровского для базиса Грёбнера
yx+x^2, xz,zy, zx^2
суть
1, x, y, z, zx.
Значит любая плохая цепь Аника имеет бистепень (i,j) с j ≥ 1.
Таким образом все критические бистепени должны иметь вид (i,1) для некоторо i.
Заметим, что
a)плохая цепь бистепени (i,1) во втором графе Уфнаровского не может проходить через вершину z.
b) плохая цепь бистепени (i,1) в первом графе Уфнаровского должна проходить через z. Так как в этом графе Уфнаровского есть лишь одна исходящая из z стрелка, и эта стрелка ведет в x, мы получает, что (i,1) может быть критической бистепенью только для n ≥ 3.
Теперь, если выкинуть z из второго графа Уфнаровского, то мы получим граф со стрелками
1 -> x
1 -> y
x-> y
x -> zx
zx -> x
Нас интересуют пути начинающиеся в 1, проходящей через zx в точности один раз, и проходящие не менее чем через 4 вершины (включая 1).
Такие пути исчерпываются
1 -> x -> zx -> x
1 -> x -> zx -> x -> y.
Первый путь дает 2-цепь Аника xzx^2 бистепени (3,1), а второй 3-цепь Аника yxzx^2 бистепени (4,1).
Можно проверить, что (3,1) будет критической бистепенью для 2, а (4,1) будет критической для 3.
Утверждение, что xzx^2 и yxzx^2 дают нулевые классы в группах кручения следует из вычислений
d( .yx) = y..x - i ( y d.x)) = y.x - i (yx.) = y.x + i(x^2) = y.x + x.x
d (.zyx) = z.yx - i ( z d(.yx) ) = z.yx - i( zx.x) = z.yx - .zx^2
d( .xzyx ) = x.zyx - i ( x d ( .zyx ) ) = x.zyx + i(x.zx^2) = x.zyx + .xzx^2
d( .yxzyx) = y.xzyx - i ( y d (.xzyx) ) = y.xzyx - i (y.xzx^2) = y.xzyx - .yxzyx