![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Коллоквиум в Тель-Авиве
Что такое формальная схема? Формальная окрестность/формальное пополнение в алгебраической геометрии -- это такой аналог трубчатой окрестности в дифференциальной геометрии. Одно из различий в том, что в алгебраической геометрии нет трубчатых окрестностей конечного радиуса, а есть только бесконечно малого. Другое -- в том, что алгебраический подход дает автоматическую легкость работы с многообразиями с особенностями.
В алгебраической геометрии, пространства описываются кольцами функций на них. Особенно это верно для аффинных многообразий, и мы ограничимся для простоты формальными пополнениями замкнутых подмногообразий аффинных многообразий. Простейший релевантный для нас пример трубчатой окрестности в математике -- это ε-круг с центром в нуле на комплексной плоскости C. Кольцо голоморфных функций на круге {z: |z| < ε} есть кольцо степенных рядов ∑n=0∞ anzn, где верхний предел lim supn→∞ n√an не превосходит 1/ε.
В алгебраической геометрии, вместо поля комплексных чисел у нас произвольное основное поле k, на котором никакой топологии или метрики нет, так что остается только рассматривать "формальные" степенные ряды ∑n=0∞ anxn, где an -- произвольные элементы поля k. Формальная окрестность точки ноль на аффинной прямой A1k над полем k -- это условное, в кавычках "множество всех x, настолько малых, что ∑n∞ anxn сходится для любых an ∈ k".
Прежде чем перейти к более интересным примерам формальных пополнений, поговорим просто об аффинных многообразиях. Аффинное алгебраическое многообразие X -- это, примерно, множество нулей системы полиномиальных уравнений f1(x1,…,xn) = … = fm(x1,…,xn) = 0 в n-мерном аффинном пространстве Ank над полем k. Аффинным алгебраическим многообразиям над полем k соответствуют конечно-порожденные коммутативные алгебры над k.
Самому аффинному пространству Ank соответствует кольцо многочленов k[x1,…,xn]. А замкнутому подмногообразию X ⊂ Ank, заданному уравнениями f1, …, fm, соответствует факторкольцо R = k[x1,…,xn]/(f1,…,fm) этого кольца многочленов по идеалу, порожденному f1, …, fm. Этот идеал состоит из многочленов (= полиномиальных функций на аффинном пространстве Ank), зануляющихся на X; а факторкольцо R кольца многочленов по нему -- это кольцо полиномиальных функций на X. Общепринятые обозначения: X = Spec R и R = O(X).
Приведем два примера алгебраических многообразий: один обыкновенный, другой необычный. Обыкновенный пример: одно уравнение на две переменных x3 = y2 задает кривую на плоскости с особой точкой типа "касп" в точке (0,0); график ее в вещественных координатах выглядит как такая кривая с возвратной точкой. Соответствующая конечно-порожденная коммутативная алгебра -- это факторкольцо k[x,y]/(x3−y2). Обозначим эту кривую через C = Spec k[x,y]/(x3−y2).
Необычный пример: одно уравнение xn = 0 на одну переменную x задает многообразие Spec k[x]/(xn), которое можно описать условно, в кавычках, как "множество всех x, настолько малых, что xn = 0".
Вернемся теперь к нашей формальной окрестности точки на аффинной прямой. Кольцо k[[x]] тесно связано с последовательностью колец k[x]/(xn), а именно, оно является их, как говорят алгебраисты, "проективным пределом". Вообще, если имеется последовательность алгебраических структур (групп, абелевых групп, колец, ... -- в интересующем нас случае это будет последовательность колец) и отображений между ними, бьющих в обратную сторону
R1 ← R2 ← R3 ← R4 ← R5 ← …
то проективным пределом proj limn Rn называется множество всех последовательностей элементов (rn∈Rn)n∈N, таких что pn(rn+1) = rn для всех n, где pn обозначает отображение Rn+1 → Rn. Так вот, кольцо k[[x]] есть проективный предел колец k[x]/(xn) с естественными (сюръективными) отображениями между ними.
Теперь, соответствие между пространствами и кольцами функций на них обращает стрелки -- отображению между пространствами в одну сторону соответствует отображение обратного образа функций, бьющее в противоположную сторону. Поэтому проективному пределу колец k[x]/(xn) соответствует то, что называется "индуктивный предел" -- предел по отображениям вперед в последовательности -- соответствующих многообразий. В данном случае, это будет просто объединение.
В результате, пространство, отвечающее кольцу k[[x]] -- оно называется "формальный спектр" и обозначается Spf или Specf k[[x]] -- оказывается объединением ∪n Spec k[x]/(xn). Таким образом мы получаем (условно, в кавычках) описание формальной окрестности нуля на аффинной прямой как "множества всех x, для которых существует n, такое что xn = 0". Это объясняет, каким образом все ряды ∑n=0∞ anxn с произвольными коэффициентами из поля k (в том числе, такие, как ∑n=0∞ n! xn, например) ухитряются сходиться для таких x.
Рассмотрим теперь более интересные примеры формальных окрестностей. Пусть D обозначает кривую на плоскости, заданную уравнением от двух переменных x2(x+1) = y2. Это такая кривая с самопересечением, образующим петлю. Представим себе, что такая кривая нарисована на листе бумаги, и мы вырезали из листа бумаги ножницами узкую полоску вокруг этой кривой (не разрезая саму кривую). Это называется формальной окрестностью кривой D на плоскости A2k.
Речь идет о множестве точек плоскости (x,y), для которых x2(x+1) − y2 приблизительно равно нулю. Следуя подходу, развитому выше, проинтерпретируем последнее условие, по-прежнему в кавычках, как "существует n, такое что (x2(x+1)−y2)n = 0". Теперь мы можем описать нашу формальную окрестность как формальный спектр соответствующего проективного предела факторколец, Specf proj limn k[x,y]/((x2(x+1)−y2)n).
Мы не будем обсуждать определение того, что значит "формальный спектр" или "формальная схема", оно сложно и не нужно нам здесь. Важно, что мы пришли к кольцу proj limn k[x,y]/((x2(x+1)−y2)n); оно, в отличие от многого предыдущего, имеет вполне корректный строгий смысл (согласно определению проективного предела выше), и оно нам нужно.
Другой пример: вернемся к кривой C, заданной уравнением x3 = y2. Нас интересует формальная окрестность особой точки (0,0) внутри этой кривой. Это множество точек плоскости (x,y), для которых x3 − y2 = 0 в точности, в то время, как x и у приблизительно равны нулю. Следуя тому же подходу, это пространство описывается как Specf proj limn k[x,y]/(x3−y2, xn, yn).
Вопрос: почему нельзя просто рассмотреть локализацию кольца функций на кривой C по соответствующему идеалу? Ответ: ну, локализация и пополнение -- это разные кольца. Но геометрически-наглядная разница вот в чем. Представим себе нашу кривую сделанной из куска бесконечно тонкой, бесконечно длинной проволоки. Возьмем ножницы, которыми режут проволоку, и вырежем маленький кусочек вокруг особой точки (0,0). Это пополнение, формальная окрестность точки. А локализация -- это как если взять ту же кривую и повыкидывать из нее одну за другой все точки, кроме (0,0). Точки мы повыкидывали, но кривая "в целом", как бы общий каркас ее, shape, сохраняется при локализации -- но не при пополнении.
Итак, если аффинные алгебраические многообразия соответствуют конечно-порожденным коммутативным алгебрам, то их формальные пополнения (формальные окрестности замкнутых алгебраических подмногообразий в аффинных алгебраических многообразиях) соответствуют адическим пополнениям конечно-порожденных коммутативных алгебр. Адическим пополнением кольца R по идеалу I называется проективный предел RI^ = limn R/In.
На кольце RI^ есть топология: вообще, любой проективный предел (множеств) proj limn Rn есть подмножество в декартовом произведении ∏n Rn; наделив каждое множество Rn дискретной топологией, рассмотрим тихоновскую топологию на их произведении. В этой топологии proj limn Rn оказывается замкнутым подмножеством в ∏n Rn, и мы наделяем это подмножество индуцированной топологией.
Эквивалентным образом, последовательность элементов fj сходится к элементу f в RI^, если для любого n существует j0 такое, что для всех j > j0 разность fj − f принадлежит InRI^.
... Потратив таким образом большую часть отведенного часа на разжевывание формальных схем незнакомой с алгебраической геометрией аудитории, я потом уже довольно быстро и местами несколько скомканно изложил постановку задачи "сопоставить формальной аффинной схеме абелеву категорию модулей":
- в дифференциальной геометрии, с многобразием связывают категорию векторных расслоений на нем;
- в алгебраической геометрии, с многообразием связывают категорию квазикогерентных пучков на нем;
- в частности, в случае аффинного алгебраического многообразия Spec R, категория квазикогерентных пучков -- это просто категория модулей над R
(категория модулей/квазикогерентных пучков даже в чем-то лучше, чем категория векторных расслоений, поскольку является абелевой категорией -- ядра и образы гомоморфизмов и фактормодули по подмодулям в ней определены и ведут себя так же, как в категории абелевых групп (отсюда и термин "абелева"));
- какую же категорию модулей сопоставить формальной аффинной схеме Specf RI^ ?
и ее возможные решения:
(1) абелева категория RI^-Mod всех RI^-модулей слишком большая и не знает про топологию на RI^ ;
(2) категория RI^-модулей I-кручения, состоящая из всех RI^-модулей (или можно просто говорить R-модулей, это ввиду следующего условия все равно) M, для которых для любого m ∈ M найдется натуральное n, для которого Inm = 0 -- хорошая категория модулей на формальной схеме, но, например, само кольцо RI^ ее объектом не является -- хотелось бы иметь еще категорию, состоящую из модулей, которые ощущаются как "полные", а не "дискретные", и которой принадлежит модуль RI^;
(3) категория I-адически полных и отделимых RI^-модулей P, т.е., таких, для которых естественное отображение в проективный предел P → proj limn P/InP является изоморфизмом -- как класс или категория модулей, плохо себя ведет -- как подкатегория в RI^-Mod, не замкнута относительно операции перехода к фактормодулю по подмодулю из того же класса, а сама по себе -- не абелева категория;
(4) категория RI-контрамодулей определяется на традиционном уже по нынешним временам пути "алгебраизации анализа" как некоторая категория модулей с операциями бесконечного суммирования, подчиненным естественным аксиомам -- эта категория абелева и хорошая.
Определение категории контрамодулей (над кольцом формальных степенных рядов k[[x]]; и далее над произвольным полным, отделимым топологическим кольцом, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля) я растолковал, в очень первом приближении, в конце лекции; но здесь воспроизводить его, пожалуй, уже не буду (см. мой обзор http://arxiv.org/abs/1503.00991 , раздел 2.1, например -- или можно начать с разделов 1.3-1.4 и плюс еще 1.5-1.6).
В алгебраической геометрии, пространства описываются кольцами функций на них. Особенно это верно для аффинных многообразий, и мы ограничимся для простоты формальными пополнениями замкнутых подмногообразий аффинных многообразий. Простейший релевантный для нас пример трубчатой окрестности в математике -- это ε-круг с центром в нуле на комплексной плоскости C. Кольцо голоморфных функций на круге {z: |z| < ε} есть кольцо степенных рядов ∑n=0∞ anzn, где верхний предел lim supn→∞ n√an не превосходит 1/ε.
В алгебраической геометрии, вместо поля комплексных чисел у нас произвольное основное поле k, на котором никакой топологии или метрики нет, так что остается только рассматривать "формальные" степенные ряды ∑n=0∞ anxn, где an -- произвольные элементы поля k. Формальная окрестность точки ноль на аффинной прямой A1k над полем k -- это условное, в кавычках "множество всех x, настолько малых, что ∑n∞ anxn сходится для любых an ∈ k".
Прежде чем перейти к более интересным примерам формальных пополнений, поговорим просто об аффинных многообразиях. Аффинное алгебраическое многообразие X -- это, примерно, множество нулей системы полиномиальных уравнений f1(x1,…,xn) = … = fm(x1,…,xn) = 0 в n-мерном аффинном пространстве Ank над полем k. Аффинным алгебраическим многообразиям над полем k соответствуют конечно-порожденные коммутативные алгебры над k.
Самому аффинному пространству Ank соответствует кольцо многочленов k[x1,…,xn]. А замкнутому подмногообразию X ⊂ Ank, заданному уравнениями f1, …, fm, соответствует факторкольцо R = k[x1,…,xn]/(f1,…,fm) этого кольца многочленов по идеалу, порожденному f1, …, fm. Этот идеал состоит из многочленов (= полиномиальных функций на аффинном пространстве Ank), зануляющихся на X; а факторкольцо R кольца многочленов по нему -- это кольцо полиномиальных функций на X. Общепринятые обозначения: X = Spec R и R = O(X).
Приведем два примера алгебраических многообразий: один обыкновенный, другой необычный. Обыкновенный пример: одно уравнение на две переменных x3 = y2 задает кривую на плоскости с особой точкой типа "касп" в точке (0,0); график ее в вещественных координатах выглядит как такая кривая с возвратной точкой. Соответствующая конечно-порожденная коммутативная алгебра -- это факторкольцо k[x,y]/(x3−y2). Обозначим эту кривую через C = Spec k[x,y]/(x3−y2).
Необычный пример: одно уравнение xn = 0 на одну переменную x задает многообразие Spec k[x]/(xn), которое можно описать условно, в кавычках, как "множество всех x, настолько малых, что xn = 0".
Вернемся теперь к нашей формальной окрестности точки на аффинной прямой. Кольцо k[[x]] тесно связано с последовательностью колец k[x]/(xn), а именно, оно является их, как говорят алгебраисты, "проективным пределом". Вообще, если имеется последовательность алгебраических структур (групп, абелевых групп, колец, ... -- в интересующем нас случае это будет последовательность колец) и отображений между ними, бьющих в обратную сторону
R1 ← R2 ← R3 ← R4 ← R5 ← …
то проективным пределом proj limn Rn называется множество всех последовательностей элементов (rn∈Rn)n∈N, таких что pn(rn+1) = rn для всех n, где pn обозначает отображение Rn+1 → Rn. Так вот, кольцо k[[x]] есть проективный предел колец k[x]/(xn) с естественными (сюръективными) отображениями между ними.
Теперь, соответствие между пространствами и кольцами функций на них обращает стрелки -- отображению между пространствами в одну сторону соответствует отображение обратного образа функций, бьющее в противоположную сторону. Поэтому проективному пределу колец k[x]/(xn) соответствует то, что называется "индуктивный предел" -- предел по отображениям вперед в последовательности -- соответствующих многообразий. В данном случае, это будет просто объединение.
В результате, пространство, отвечающее кольцу k[[x]] -- оно называется "формальный спектр" и обозначается Spf или Specf k[[x]] -- оказывается объединением ∪n Spec k[x]/(xn). Таким образом мы получаем (условно, в кавычках) описание формальной окрестности нуля на аффинной прямой как "множества всех x, для которых существует n, такое что xn = 0". Это объясняет, каким образом все ряды ∑n=0∞ anxn с произвольными коэффициентами из поля k (в том числе, такие, как ∑n=0∞ n! xn, например) ухитряются сходиться для таких x.
Рассмотрим теперь более интересные примеры формальных окрестностей. Пусть D обозначает кривую на плоскости, заданную уравнением от двух переменных x2(x+1) = y2. Это такая кривая с самопересечением, образующим петлю. Представим себе, что такая кривая нарисована на листе бумаги, и мы вырезали из листа бумаги ножницами узкую полоску вокруг этой кривой (не разрезая саму кривую). Это называется формальной окрестностью кривой D на плоскости A2k.
Речь идет о множестве точек плоскости (x,y), для которых x2(x+1) − y2 приблизительно равно нулю. Следуя подходу, развитому выше, проинтерпретируем последнее условие, по-прежнему в кавычках, как "существует n, такое что (x2(x+1)−y2)n = 0". Теперь мы можем описать нашу формальную окрестность как формальный спектр соответствующего проективного предела факторколец, Specf proj limn k[x,y]/((x2(x+1)−y2)n).
Мы не будем обсуждать определение того, что значит "формальный спектр" или "формальная схема", оно сложно и не нужно нам здесь. Важно, что мы пришли к кольцу proj limn k[x,y]/((x2(x+1)−y2)n); оно, в отличие от многого предыдущего, имеет вполне корректный строгий смысл (согласно определению проективного предела выше), и оно нам нужно.
Другой пример: вернемся к кривой C, заданной уравнением x3 = y2. Нас интересует формальная окрестность особой точки (0,0) внутри этой кривой. Это множество точек плоскости (x,y), для которых x3 − y2 = 0 в точности, в то время, как x и у приблизительно равны нулю. Следуя тому же подходу, это пространство описывается как Specf proj limn k[x,y]/(x3−y2, xn, yn).
Вопрос: почему нельзя просто рассмотреть локализацию кольца функций на кривой C по соответствующему идеалу? Ответ: ну, локализация и пополнение -- это разные кольца. Но геометрически-наглядная разница вот в чем. Представим себе нашу кривую сделанной из куска бесконечно тонкой, бесконечно длинной проволоки. Возьмем ножницы, которыми режут проволоку, и вырежем маленький кусочек вокруг особой точки (0,0). Это пополнение, формальная окрестность точки. А локализация -- это как если взять ту же кривую и повыкидывать из нее одну за другой все точки, кроме (0,0). Точки мы повыкидывали, но кривая "в целом", как бы общий каркас ее, shape, сохраняется при локализации -- но не при пополнении.
Итак, если аффинные алгебраические многообразия соответствуют конечно-порожденным коммутативным алгебрам, то их формальные пополнения (формальные окрестности замкнутых алгебраических подмногообразий в аффинных алгебраических многообразиях) соответствуют адическим пополнениям конечно-порожденных коммутативных алгебр. Адическим пополнением кольца R по идеалу I называется проективный предел RI^ = limn R/In.
На кольце RI^ есть топология: вообще, любой проективный предел (множеств) proj limn Rn есть подмножество в декартовом произведении ∏n Rn; наделив каждое множество Rn дискретной топологией, рассмотрим тихоновскую топологию на их произведении. В этой топологии proj limn Rn оказывается замкнутым подмножеством в ∏n Rn, и мы наделяем это подмножество индуцированной топологией.
Эквивалентным образом, последовательность элементов fj сходится к элементу f в RI^, если для любого n существует j0 такое, что для всех j > j0 разность fj − f принадлежит InRI^.
... Потратив таким образом большую часть отведенного часа на разжевывание формальных схем незнакомой с алгебраической геометрией аудитории, я потом уже довольно быстро и местами несколько скомканно изложил постановку задачи "сопоставить формальной аффинной схеме абелеву категорию модулей":
- в дифференциальной геометрии, с многобразием связывают категорию векторных расслоений на нем;
- в алгебраической геометрии, с многообразием связывают категорию квазикогерентных пучков на нем;
- в частности, в случае аффинного алгебраического многообразия Spec R, категория квазикогерентных пучков -- это просто категория модулей над R
(категория модулей/квазикогерентных пучков даже в чем-то лучше, чем категория векторных расслоений, поскольку является абелевой категорией -- ядра и образы гомоморфизмов и фактормодули по подмодулям в ней определены и ведут себя так же, как в категории абелевых групп (отсюда и термин "абелева"));
- какую же категорию модулей сопоставить формальной аффинной схеме Specf RI^ ?
и ее возможные решения:
(1) абелева категория RI^-Mod всех RI^-модулей слишком большая и не знает про топологию на RI^ ;
(2) категория RI^-модулей I-кручения, состоящая из всех RI^-модулей (или можно просто говорить R-модулей, это ввиду следующего условия все равно) M, для которых для любого m ∈ M найдется натуральное n, для которого Inm = 0 -- хорошая категория модулей на формальной схеме, но, например, само кольцо RI^ ее объектом не является -- хотелось бы иметь еще категорию, состоящую из модулей, которые ощущаются как "полные", а не "дискретные", и которой принадлежит модуль RI^;
(3) категория I-адически полных и отделимых RI^-модулей P, т.е., таких, для которых естественное отображение в проективный предел P → proj limn P/InP является изоморфизмом -- как класс или категория модулей, плохо себя ведет -- как подкатегория в RI^-Mod, не замкнута относительно операции перехода к фактормодулю по подмодулю из того же класса, а сама по себе -- не абелева категория;
(4) категория RI-контрамодулей определяется на традиционном уже по нынешним временам пути "алгебраизации анализа" как некоторая категория модулей с операциями бесконечного суммирования, подчиненным естественным аксиомам -- эта категория абелева и хорошая.
Определение категории контрамодулей (над кольцом формальных степенных рядов k[[x]]; и далее над произвольным полным, отделимым топологическим кольцом, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля) я растолковал, в очень первом приближении, в конце лекции; но здесь воспроизводить его, пожалуй, уже не буду (см. мой обзор http://arxiv.org/abs/1503.00991 , раздел 2.1, например -- или можно начать с разделов 1.3-1.4 и плюс еще 1.5-1.6).