![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Все категории контрамодулей являются категориями контрамодулей над топологическими кольцами - 2
Лемма 1. Пусть F: B → A -- аддитивный функтор между аддитивными категориями. Предположим, что 1) в категориях A и B существуют произвольные бесконечные прямые суммы, и функтор F сохраняет бесконечные прямые суммы; 2) A -- локально слабо конечно-порожденная абелева категория; 3) функтор F строгий; 4) для любых двух объектов K и L в категории B, всякий морфизм g: F(K) → F(L) в категории A, такой что для любого слабо конечно-порожденного подобъекта E ⊂ F(K) найдется морфизм h: K → L в категории B, такой что морфизмы g и F(h) совпадают в ограничении на E, происходит из некоторого морфизма в категории B, т.е., тогда существует f: K → L, такой что F(f) = g.
Тогда для любого объекта N категории B монада X → HomB(N, N(X)) на категории множеств происходит из некоторой структуры полного, отделимого топологического кольца с базой окрестностей нуля, состоящей из открытых правых идеалов, на кольце HomB(N,N)op.
Доказательство леммы 1: согласно результату постинга http://posic.livejournal.com/1259548.html , кольцо R = HomA(F(N),F(N))op является полным, отделимым топологическим кольцом с базой окрестностей нуля, состоящей из открытых правых идеалов. Поскольку функтор F строгий, кольцо S = HomB(N,N)op является подкольцом в R. Покажем, что это замкнутое подкольцо.
Пусть g: F(N) → F(N) -- морфизм в категории A, не являющийся образом какого-либо морфизма в категории B при функторе F. Тогда, согласно условию 4), найдется слабо конечно-порожденный подобъект E ⊂ F(K), такой что в категории B нет морфизма N → N, образ которого при функторе F совпадал бы с g в ограничении на E. Теперь множество всех морфизмов F(N) → F(N) в категории A, совпадающих с g в ограничении на E, является открытой окрестностью элемента g в кольце R, не пересекающейся с подкольцом S ⊂ R.
Наделим подкольцо S ⊂ R топологией, индуцированной с топологии кольца R. Из доказанного следует, что S является полным, отделимым топологическим кольцом с базой окрестностей нуля, состоящей из открытых правых идеалов.
Для любого множества X, отображение HomB(N, N(X)) → ∏x∈X HomB(N,N) инъективно, поскольку F(N(X)) = F(N)(X), функтор F строгий, и отображение HomA(F(N), F(N)(X)) → ∏x∈X HomA(F(N),F(N)) инъективно. Остается показать, что образ отображения HomB(N, N(X)) → ∏x∈X HomB(N,N) состоит из всех X-индексированных семейств элементов HomB(N,N), сходящихся к нулю в топологии кольца S.
В самом деле, для всякого морфизма N → N(X), соответствующее X-индексированное семейство элементов HomB(N,N) сходится к нулю в топологии S, поскольку, рассматриваемое как семейство элементов кольца R, оно происходит из некоторого морфизма F(N) → F(N)(X), и следовательно, сходится к нулю в топологии R.
Чтобы доказать обратную импликацию, нужно проверить, что всякий морфизм F(N) → F(N)(X) в категории A, все композиции которого с проекциями F(N)(X) → F(N) являются образами некоторых морфизмов hx: N → N, x∈X при функторе F, сам является образом некоторого морфизма N → N(X) при функторе F. Для этого нужно снова использовать условие 4). Пусть E ⊂ F(N) -- слабо конечно-порожденный подобъект. Тогда ограничение на E нашего морфизма g: F(N) → F(N)(X) факторизуется через вложение F(N)(Y) → F(N)(X) для некоторого конечного подмножества Y ⊂ X. Соответствующий морфизм E → F(N)(Y) является ограничением на E образа морфизма hY: N → N(Y), компоненты которого суть морфизмы hy, y∈Y. Компонуя морфизм hY с вложением N(Y) → N(X), мы получаем морфизм h: N → N(X), образ которого при функторе F совпадает с морфизмом g в ограничении на подобъект E ⊂ F(N).
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть B → A -- аддитивный функтор, удовлетворяющий условиям леммы 1. Тогда забывающий функтор в A из (а) категории алгебр/модулей над любой монадой, сохраняющей бесконечные прямые суммы, на категории B, (б) категории коалгебр/комодулей над любой комонадой, сохраняющей бесконечные прямые суммы, на категории B тоже удовлетворяет условиям леммы 1.
(Лемму 2, конечно, нельзя доказать в таком виде. Реальные условия будут намного более ограничительными и менее привлекательно выглядящми.)
Тогда для любого объекта N категории B монада X → HomB(N, N(X)) на категории множеств происходит из некоторой структуры полного, отделимого топологического кольца с базой окрестностей нуля, состоящей из открытых правых идеалов, на кольце HomB(N,N)op.
Доказательство леммы 1: согласно результату постинга http://posic.livejournal.com/1259548.html , кольцо R = HomA(F(N),F(N))op является полным, отделимым топологическим кольцом с базой окрестностей нуля, состоящей из открытых правых идеалов. Поскольку функтор F строгий, кольцо S = HomB(N,N)op является подкольцом в R. Покажем, что это замкнутое подкольцо.
Пусть g: F(N) → F(N) -- морфизм в категории A, не являющийся образом какого-либо морфизма в категории B при функторе F. Тогда, согласно условию 4), найдется слабо конечно-порожденный подобъект E ⊂ F(K), такой что в категории B нет морфизма N → N, образ которого при функторе F совпадал бы с g в ограничении на E. Теперь множество всех морфизмов F(N) → F(N) в категории A, совпадающих с g в ограничении на E, является открытой окрестностью элемента g в кольце R, не пересекающейся с подкольцом S ⊂ R.
Наделим подкольцо S ⊂ R топологией, индуцированной с топологии кольца R. Из доказанного следует, что S является полным, отделимым топологическим кольцом с базой окрестностей нуля, состоящей из открытых правых идеалов.
Для любого множества X, отображение HomB(N, N(X)) → ∏x∈X HomB(N,N) инъективно, поскольку F(N(X)) = F(N)(X), функтор F строгий, и отображение HomA(F(N), F(N)(X)) → ∏x∈X HomA(F(N),F(N)) инъективно. Остается показать, что образ отображения HomB(N, N(X)) → ∏x∈X HomB(N,N) состоит из всех X-индексированных семейств элементов HomB(N,N), сходящихся к нулю в топологии кольца S.
В самом деле, для всякого морфизма N → N(X), соответствующее X-индексированное семейство элементов HomB(N,N) сходится к нулю в топологии S, поскольку, рассматриваемое как семейство элементов кольца R, оно происходит из некоторого морфизма F(N) → F(N)(X), и следовательно, сходится к нулю в топологии R.
Чтобы доказать обратную импликацию, нужно проверить, что всякий морфизм F(N) → F(N)(X) в категории A, все композиции которого с проекциями F(N)(X) → F(N) являются образами некоторых морфизмов hx: N → N, x∈X при функторе F, сам является образом некоторого морфизма N → N(X) при функторе F. Для этого нужно снова использовать условие 4). Пусть E ⊂ F(N) -- слабо конечно-порожденный подобъект. Тогда ограничение на E нашего морфизма g: F(N) → F(N)(X) факторизуется через вложение F(N)(Y) → F(N)(X) для некоторого конечного подмножества Y ⊂ X. Соответствующий морфизм E → F(N)(Y) является ограничением на E образа морфизма hY: N → N(Y), компоненты которого суть морфизмы hy, y∈Y. Компонуя морфизм hY с вложением N(Y) → N(X), мы получаем морфизм h: N → N(X), образ которого при функторе F совпадает с морфизмом g в ограничении на подобъект E ⊂ F(N).
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть B → A -- аддитивный функтор, удовлетворяющий условиям леммы 1. Тогда забывающий функтор в A из (а) категории алгебр/модулей над любой монадой, сохраняющей бесконечные прямые суммы, на категории B, (б) категории коалгебр/комодулей над любой комонадой, сохраняющей бесконечные прямые суммы, на категории B тоже удовлетворяет условиям леммы 1.
(Лемму 2, конечно, нельзя доказать в таком виде. Реальные условия будут намного более ограничительными и менее привлекательно выглядящми.)