![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Все категории контрамодулей являются категориями контрамодулей над топологическими кольцами
Метатеорема: все абелевы категории контрамодулей и полуконтрамодулей, играющие заметную роль в полубесконечной книжке, эквивалентны (если угодно, даже изоморфны) категориям контрамодулей над подходящими топологическими ассоциативными кольцами. Более того, соответствущие эквивалентности категорий можно выбрать таким образом, чтобы они образовывали коммутативные диаграммы с забывающими функторами в категории множеств/абелевых групп.
Возможное исключение из метатеоремы: эквивалентность категорий контрамодулей над топологической алгеброй Ли и ее топологической обертывающей алгеброй доказана в полубесконечной книжке только в предположении счетности базы окрестностей нуля в топологической алгебре Ли. Случай категории контрамодулей над топологической алгеброй Ли без счетной базы окрестностей нуля ниже не обсуждается, а обсуждаются случаи контрамодулей над кокольцами и полуконтрамодулей над полуалгебрами над коалгебрами и кокольцами.
Набросок доказательства метатеоремы: известно, что в абелевых категориях контрамодулей над кокольцами и полуконтрамодулей над коалгебрами достаточно много проективных объектов. Ко-контра/полуко-полуконтра соответствие отождествляет категории проективных контрамодулей и полуконтрамодулей с категориями копроективных комодулей и полупроективных полумодулей над соответствующим кокольцом или полуалгеброй. В частности, в категории (полу)контрамодулей имеется выделенный проективный образующий объект, соответствующий комодулю C над коалгеброй C или полумодулю S над полуалгеброй S. Ко-контра/полуко-полуконтра соответствие как раз сопоставляет копроективному C-комодулю M проективный C-контрамодуль HomC(C,M) и полупроективному S-полумодулю N проективный S-полуконтрамодуль HomS(S,N).
Классы копроективных C-комодулей и полупроективных S-полумодулей замкнуты относительно прямых сумм в абелевых категориях C-comod и S-simod. В абелевых категориях C-contra и S-sicntr также есть бесконечные прямые суммы. Эквивалентности между категориями проективных (полу)контрамодулей и ко/полупроективных ко/полумодулей сохраняют бесконечные прямые суммы. Согласно изложенному во введении к препринту 1512.08119, для установления эквивалентности между абелевой категорией C-контрамодулей или S-полуконтрамодулей и категорией контрамодулей над кольцом HomC(C,C) или HomS(S,S), снабженным подходящей топологией, достаточно показать, что монада на категории множеств, сопоставляющая множеству X множество всех морфизмов из соответствующего объекта в прямую сумму X его копий HomC(C, C(X)) или HomS(S, S(X)), происходит из некоторой структуры топологического кольца на HomC(C,C) или HomS(S,S).
Согласно изложенному в серии из двух постингов http://posic.livejournal.com/1260822.html , для этого достаточно проверить, что абелева категория Гротендика C-comod или, соответственно, S-simod является локально слабо конечно-порожденной. Во-первых, пусть S -- полуалгебра над коалгеброй C, и пусть {Mi} -- множество слабо конечно-порожденных образующих категории C-comod. Тогда {S□CMi} -- множество слабо конечно-порожденных образующих категории S-simod. Во-вторых, если C -- кокольцо над кольцом A и либо C является проективным правым A-модулем, либо кольцо A нетерово слева, то всякий левый C-комодуль является объединением своих C-подкомодулей, конечно-порожденных как A-модули. Такие C-комодули очевидным образом слабо конечно-порождены как объекты C-comod. Это еще не доказывает заявленных утверждений в полной общности, но покрывает, по крайней мере, случай полуалгебры над коалгеброй над полем (а также над кольцом целых чисел и т.п.)
Чтобы доказать эквивалентность категорий C-contra = HomC(C,C)-contra для проективного над A слева и плоского над A справа кокольца C, нужно использовать версию результатов из постинга по ссылке, справедливую в каких-то предположениях, отличающихся от локальной слабой конечно-порожденности абелевой категории.
Возможное исключение из метатеоремы: эквивалентность категорий контрамодулей над топологической алгеброй Ли и ее топологической обертывающей алгеброй доказана в полубесконечной книжке только в предположении счетности базы окрестностей нуля в топологической алгебре Ли. Случай категории контрамодулей над топологической алгеброй Ли без счетной базы окрестностей нуля ниже не обсуждается, а обсуждаются случаи контрамодулей над кокольцами и полуконтрамодулей над полуалгебрами над коалгебрами и кокольцами.
Набросок доказательства метатеоремы: известно, что в абелевых категориях контрамодулей над кокольцами и полуконтрамодулей над коалгебрами достаточно много проективных объектов. Ко-контра/полуко-полуконтра соответствие отождествляет категории проективных контрамодулей и полуконтрамодулей с категориями копроективных комодулей и полупроективных полумодулей над соответствующим кокольцом или полуалгеброй. В частности, в категории (полу)контрамодулей имеется выделенный проективный образующий объект, соответствующий комодулю C над коалгеброй C или полумодулю S над полуалгеброй S. Ко-контра/полуко-полуконтра соответствие как раз сопоставляет копроективному C-комодулю M проективный C-контрамодуль HomC(C,M) и полупроективному S-полумодулю N проективный S-полуконтрамодуль HomS(S,N).
Классы копроективных C-комодулей и полупроективных S-полумодулей замкнуты относительно прямых сумм в абелевых категориях C-comod и S-simod. В абелевых категориях C-contra и S-sicntr также есть бесконечные прямые суммы. Эквивалентности между категориями проективных (полу)контрамодулей и ко/полупроективных ко/полумодулей сохраняют бесконечные прямые суммы. Согласно изложенному во введении к препринту 1512.08119, для установления эквивалентности между абелевой категорией C-контрамодулей или S-полуконтрамодулей и категорией контрамодулей над кольцом HomC(C,C) или HomS(S,S), снабженным подходящей топологией, достаточно показать, что монада на категории множеств, сопоставляющая множеству X множество всех морфизмов из соответствующего объекта в прямую сумму X его копий HomC(C, C(X)) или HomS(S, S(X)), происходит из некоторой структуры топологического кольца на HomC(C,C) или HomS(S,S).
Согласно изложенному в серии из двух постингов http://posic.livejournal.com/1260822.html , для этого достаточно проверить, что абелева категория Гротендика C-comod или, соответственно, S-simod является локально слабо конечно-порожденной. Во-первых, пусть S -- полуалгебра над коалгеброй C, и пусть {Mi} -- множество слабо конечно-порожденных образующих категории C-comod. Тогда {S□CMi} -- множество слабо конечно-порожденных образующих категории S-simod. Во-вторых, если C -- кокольцо над кольцом A и либо C является проективным правым A-модулем, либо кольцо A нетерово слева, то всякий левый C-комодуль является объединением своих C-подкомодулей, конечно-порожденных как A-модули. Такие C-комодули очевидным образом слабо конечно-порождены как объекты C-comod. Это еще не доказывает заявленных утверждений в полной общности, но покрывает, по крайней мере, случай полуалгебры над коалгеброй над полем (а также над кольцом целых чисел и т.п.)
Чтобы доказать эквивалентность категорий C-contra = HomC(C,C)-contra для проективного над A слева и плоского над A справа кокольца C, нужно использовать версию результатов из постинга по ссылке, справедливую в каких-то предположениях, отличающихся от локальной слабой конечно-порожденности абелевой категории.