![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
В поисках одного теоретико-категорного контрпримера
обнаружил себя размышляющим над следующим глубоким вопросом. Пусть Q -- множество всех рациональных чисел с вещественной топологией, и k -- конечное поле. Дело в том, что меня интересует постоянный пучок k-векторных пространств на Q, но это присказка.
Вопрос такой. Можно ли привести пример последовательности локально-постоянных функций fn: Q → k, такой что функции fn в ограничении на любое компактное подмножество в Q тождественно зануляются для достаточно больших n, но существует точка q ∈ Q, такая что ни для какой окрестности q в Q функции fn не становятся тождественно равными нулю на этой окрестности для достаточно больших n ?
Например, множество {1, 1/2, 1/3, 1/4, …, 0} является компактным подмножеством в Q.
Upd.: http://mathoverflow.net/questions/228218/compact-not-local-uniform-convergence-of-sequences-of-functions-on-the-rational
UUpd.: http://ru-math.livejournal.com/831555.html
UUUpd.: Нет, не бывает таких последовательностей функций. Похоже, что мой контрпример нельзя построить таким способом.
UUUUpd.: Собственно, идея была в том, что категория пучков k-векторных пространств на Q не является локально (даже слабо) конечно-порожденной. Но нет, все равно категория прямых слагаемых прямых сумм копий постоянного пучка эквивалентна категории проективных контрамодулей над кольцом локально-постоянных функций с топологией равномерной сходимости на компактах, как следует из рассуждений, которые мне написали по ссылкам.
Вопрос такой. Можно ли привести пример последовательности локально-постоянных функций fn: Q → k, такой что функции fn в ограничении на любое компактное подмножество в Q тождественно зануляются для достаточно больших n, но существует точка q ∈ Q, такая что ни для какой окрестности q в Q функции fn не становятся тождественно равными нулю на этой окрестности для достаточно больших n ?
Например, множество {1, 1/2, 1/3, 1/4, …, 0} является компактным подмножеством в Q.
Upd.: http://mathoverflow.net/questions/228218/compact-not-local-uniform-convergence-of-sequences-of-functions-on-the-rational
UUpd.: http://ru-math.livejournal.com/831555.html
UUUpd.: Нет, не бывает таких последовательностей функций. Похоже, что мой контрпример нельзя построить таким способом.
UUUUpd.: Собственно, идея была в том, что категория пучков k-векторных пространств на Q не является локально (даже слабо) конечно-порожденной. Но нет, все равно категория прямых слагаемых прямых сумм копий постоянного пучка эквивалентна категории проективных контрамодулей над кольцом локально-постоянных функций с топологией равномерной сходимости на компактах, как следует из рассуждений, которые мне написали по ссылкам.