Вполне вероятно, что это известная теорема. Даже наверняка. Но я не помню, можно посмотреть в какой-нибудь учебник по ассоциативным кольцам/алгебрам. Но если подумать, то ясно, что
1. у бесконечномерных алгебр нет вообще никаких причин существовать минимальным (ненулевым) левым идеалам -- достаточно рассмотреть кольцо многочленов k[x] от одной переменной над полем, например
2. у конечномерных алгебр с нильпотентными идеалами есть минимальные левые нильпотентные идеалы, в которых не может быть идемпотентов -- достаточно рассмотреть k[x]/(xn), например
3. если C -- конечномерная алгебра без нильпотентных идеалов, то во всяком ее (ненулевом) левом идеале найдется элемент, квадрат которого не равен нулю (потому что если J = CJ -- левый идеал и J2 = 0, то (JC)2 = JCJC = JJC = 0 и двусторонний идеал JC, порожденный J, состоит из нильпотентных элементов).
Пусть A -- минимальный левый идеал в C, и пусть a -- элемент в A, такой что а2 ≠ 0. Тогда Ca2 -- левый идеал в C, содержащийся в A, так что Ca2 = A. Поэтому существует какой-нибудь элемент b в C, такой что ba2 = a. Обозначим ba = e; теперь ea = a. Отсюда e2a = a и (e2−e)a = 0.
Если e2 − e ≠ 0, рассмотрим левый идеал I, порожденный элементом e2 − e. Он содержится в A, поскольку e = ba ∈ A. Таким образом, имеем A = I. С другой стороны, Ia = 0, так как (e2−e)a = 0. Получаем Aa =0, что противоречит исходному предположению, что а2 ≠ 0.
Итак, элемент e идемпотентен. Он не равен нулю (поскольку ea = a) и принадлежит идеалу A (поскольку e = ba). Следовательно, А = Ce.
P.S. Другое дело, что мне сдается, что в конечномерной алгебре без нильпотентных идеалов всякий левый или правый идеал порожден идемпотентом, не только минимальный. Это, может быть, уже не так легко доказать такими элементарными средствами, но можно рассмотреть, действительно, случай алгебры матриц -- линейных операторов, действующих в каком-то конечномерном векторном пространстве V. Классифицировать (перечислить) все левые и правые идеалы в такой алгебре -- хорошее упражнение, над которым приятно подумать, рекомендую.
Классифицировать все идемпотентные элементы в алгебре операторов на V, кстати, тоже хорошее упраженение. Если решить их, будет ясно, почему все идеалы порождены идемпотентами.
no subject
1. у бесконечномерных алгебр нет вообще никаких причин существовать минимальным (ненулевым) левым идеалам -- достаточно рассмотреть кольцо многочленов k[x] от одной переменной над полем, например
2. у конечномерных алгебр с нильпотентными идеалами есть минимальные левые нильпотентные идеалы, в которых не может быть идемпотентов -- достаточно рассмотреть k[x]/(xn), например
3. если C -- конечномерная алгебра без нильпотентных идеалов, то во всяком ее (ненулевом) левом идеале найдется элемент, квадрат которого не равен нулю (потому что если J = CJ -- левый идеал и J2 = 0, то (JC)2 = JCJC = JJC = 0 и двусторонний идеал JC, порожденный J, состоит из нильпотентных элементов).
Пусть A -- минимальный левый идеал в C, и пусть a -- элемент в A, такой что а2 ≠ 0. Тогда Ca2 -- левый идеал в C, содержащийся в A, так что Ca2 = A. Поэтому существует какой-нибудь элемент b в C, такой что ba2 = a. Обозначим ba = e; теперь ea = a. Отсюда e2a = a и (e2−e)a = 0.
Если e2 − e ≠ 0, рассмотрим левый идеал I, порожденный элементом e2 − e. Он содержится в A, поскольку e = ba ∈ A. Таким образом, имеем A = I. С другой стороны, Ia = 0, так как (e2−e)a = 0. Получаем Aa =0, что противоречит исходному предположению, что а2 ≠ 0.
Итак, элемент e идемпотентен. Он не равен нулю (поскольку ea = a) и принадлежит идеалу A (поскольку e = ba). Следовательно, А = Ce.
P.S. Другое дело, что мне сдается, что в конечномерной алгебре без нильпотентных идеалов всякий левый или правый идеал порожден идемпотентом, не только минимальный. Это, может быть, уже не так легко доказать такими элементарными средствами, но можно рассмотреть, действительно, случай алгебры матриц -- линейных операторов, действующих в каком-то конечномерном векторном пространстве V. Классифицировать (перечислить) все левые и правые идеалы в такой алгебре -- хорошее упражнение, над которым приятно подумать, рекомендую.
Классифицировать все идемпотентные элементы в алгебре операторов на V, кстати, тоже хорошее упраженение. Если решить их, будет ясно, почему все идеалы порождены идемпотентами.