Про DG-модули

Ну, вот. Много лет я не писал ничего ни про DG-модули, ни даже про CDG-модули. С лета 2012 по лето 2019, если считать по датам первоначального обнародования архивных препринтов.

DG-модули казались слишком модными, что ли. А CDG-модули за компанию остались на сухом пайке. Казалось, что настоящая крутизна в абелевых категориях, а DG-модули -- это банально и не круто.

А потом я начал возвращаться к DG-модулям и CDG-модулям. В книжке про относительную неоднородную кошулеву двойственность, в последнем разделе препринта июня 2020 года (ожидающего теперь публикации в Rendiconti Padova).

Почему начал возвращаться? По разным причинам, в том числе и случайным. Но отчасти и потому, что заметил, что DG-модули не столь уж и модны, в сущности. Похоже, что многие гомологические алгебраисты избегают их, не только я.

Есть ряд естественных вопросов, которых в контексте DG-модулей никто не ставит и не решает. Занимаются только комплексами модулей. Например, теорема Говорова-Лазара для гомотопически плоских комплексов модулей известна, а для гомотопически плоских DG-модулей -- неизвестна.

А теперь я написал длинный текст про абелевы и точные DG-категории. Поженил, так сказать, абелевы категории с CDG-модулями. Теперь я считаю, что абелевы DG-категории -- это по-настоящему круто! И один из главных примеров там -- CDG-модули.

Кто боится CDG-модулей, может ограничиться DG-модулями. От этого ничего не изменится. В контексте абелевых DG-категорий, в смысле. Всякое CDG-кольцо Морита-эквивалентно некоторому DG-кольцу. Ацикличному DG-кольцу, более того. В том смысле, что DG-категории (C)DG-модулей над ними эквивалентны.

В частности, всякое DG-кольцо Морита-эквивалентно ацикличному. Ацикличное DG-кольцо, если что -- это такое, в котором единичный элемент является кограницей.