posic

Как теперь ясно постфактум, работа, остававшаяся на протяжении многих лет (а может быть, и сейчас остающаяся) важнейшей работой моей жизни, была уже почти сделана к осени 2002 года. Но это "почти" было трудно преодолеть. Речь идет о работе по полубесконечной гомологической алгебре, которая была в итоге написана во второй половине 00-х и вышла из печати в виде толстой монографии. По состоянию на момент времени, о котором идет речь, она существовала в виде двух серий писем, адресованных Сереже Архипову и Роме Безрукавникову и написанных летом 2000 и летом 2002 годов.

Собственно, вопросом, который я мучительно решал на протяжении нескольких лет в середине 00-х годов было -- какая из двух основных тематик моих тогдашних интересов должна была стать главной, мотивы с конечными коэффициентами (когомологии Галуа, и т.д.) или экзотические производные категории (полубесконечные когомологии, и т.д.)?

С октября 2002 по сентябрь 2003 я был визитором в Институте Макса Планка в Бонне, и когда мне предложили в январе сделать доклад на большом институтском семинаре про гипотезу Милнора-Блоха-Като и т.д., я сказал, что расскажу лучше про полубесконечные когомологии. В результате я выступал перед на три четверти пустым залом, слушать про полубесконечные гомологии ассоциативных алгебр почти никто не пришел, но Фальтингс пришел.

Доклад получился несколько скомканным, как нередко бывало у меня в те годы, но одна из вещей, которую я подчеркивал -- это что рассказываю я про некоторое определение; ничего, кроме определения, собственно, пока и нет. В конце Фальтингс спросил -- ну, хорошо, а эта ваша теория полубесконечных голомологий ассоциативных алгебр дает нужный ответ для алгебр Ли? Этого я не знал. Собственно, я и сам понимал, что без такой теоремы сравнения эта моя работа остается совсем не сделанной. Но и Фальтингс был, насколько я понял, того же мнения.

Другим основным результатом этой работы, о котором я мог бы рассказывать в каких-нибудь аудиториях, была теорема о производном полумодульно-полуконтрамодульном соответствии. Но и она оставалась к тому времени еще не доказанной, поскольку доказательство ее, изложенное в моих письмах 2002 года, зависело от некой технической гипотезы (доказать которую мне удалось только весной-летом 2006).

Уже перед самым отъездом в Москву, в сентябре 2003 года, я все-таки согласился и про гипотезу Блоха-Като рассказать на большом семинаре в Максе Планке, и этот мой доклад прошел на ура при битком набитом зале. Но дело-то было не в этом, а, собственно, в том, что что-нибудь новое сделать в этой области у меня получалось лишь изредка, и как основной предмет для постоянных занятий она мне не подходила.

Промучившись на эту тему несколько лет, как-то в один из дней в конце октября 2006 года я начал думать о том, как бы поженить науку про полубесконечные (ко)гомологии ассоциативных алгебр как теорию когомологий для алгебр над коалгебрами ("полуалгебр"), излагавшуюся в моих письмах к Роме и Сереже -- с более классическим сюжетом про коалгебры над алгебрами ("кокольца"), про которые существовала некоторая литература. Нельзя ли сделать для коколец то, что делалось для полуалгебр в моих письмах? Нельзя ли надстроить одно над другим, развив науку про трехэтажные конструкции -- полуалгебры над кокольцами над кольцами?

Эта технически трудная задача с многочисленными деталями, требовавшими внимательного прописывания, послужила мне мотивацией для того, чтобы перестать валять дурака и начать записывать и обнародовать мои многочисленные результаты, накопившиеся за десять-пятнадцать лет. Многолетний бэклог был расчищен только к концу лета 2010 года.

Уже по ходу написания моей толстой книжки по полубесконечной гомологической алгебре, в 2007-08 годах нам с Сережей удалось разобраться с теоремой сравнения с полубесконечными гомологиями алгебр Ли. Доказательство вошло в итоговую монографию, вышедшую из печати в сентябре 2010 года, в виде приложения с нашим совместным авторством.