В смысле, у которых кольца функций на аффинных открытых подсхемах когерентны. Вот препринт, в котором упоминается это понятие -- http://arxiv.org/abs/0911.5328 (см. определение 1.2.3). (Давно пора уже было записать, чтоб не забыть.)
Невозможно знать заранее, как дело пойдет, какие трудности возникнут, и что получится; но, по видимости, перечисленное в предыдущем постинге подразумевает большой объем работы, не направленной ни к какой очевидной конкретной цели, и большой объем текста, который в обозримой перспективе едва ли кто-нибудь прочтет. Зачем все это?

Подобный вопрос всегда подразумевает множество альтернативных ответов. Видимо, важнейший из них состоит в том, что, как мне это представляется, мне выпала возможность увидеть то, чего не видят другие, и понять то, что иначе оставалось бы непонятым еще долго. Что реализация этого требует большой работы от меня, так это обычное дело в науке; а что то же потребуется и от тех, кто возьмется это изучать, так это обычное дело для комплекса идей такой сложности, непривычности и удаленности от мейнстримных трюизмов. Формат уже дальше диктуется свойствами самого предмета: если оказывается, что здесь нужно писать много букв, значит, здесь нужно писать много букв; выбирать-то не приходится.

Другой ответ состоит в том, что -- глядя на вещи с точки зрения специалиста по гомологической алгебре -- как ни крути, но гомологическая алгебра, которой известно понятие производной категории второго рода, вместе с сопутствующими понятиями и методами работы с ними -- стоит на ногах намного прочнее, чем гомологическая алгебра, которой эти определения неизвестны, а необходимость иметь с ними дело в конкретных ситуациях разрешается через поиск обходных путей, и каждый раз других. Как представителю поколения, в годы юности которого гомологическая алгебра (не говоря о всей гротендиковской революции в целом) еще воспринималась отчасти как чудо, а не как набор банальностей, мне естественно взять эту задачу на себя.
Развитие постинга http://posic.livejournal.com/931746.html

По состоянию на нынешний момент, видимо, всего предполагаются следующие сюжеты:

(1) контрагерентные копучки на квазикомпактных полуотделимых схемах, ко-контра соответствие между обычными производными категориями пучков и копучков;

(2) контрагерентные копучки на нетеровых схемах, ко-контра соответствие между ко- и контрапроизводными категориями пучков и копучков (в присутствии дуализирующего комплекса);

(3) контрагерентные копучки контрамодулей на нетеровых формальных схемах, ко-контра соответствие между ко- и контрапроизводными категориями пучков кручения и копучков контрамодулей (в присутствии дуализирующего комплекса);

(4) контрагерентные копучки контрамодулей на инд-нетеровых инд-схемах нильпотентного типа ( = бесконечномерных обобщениях нетеровых формальных схем), ко-контра соответствие между ко- и контрапроизводными категориями пучков кручения и копучков контрамодулей (в присутствии дуализирующего комплекса);

(5) контрагерентные копучки контрамодулей на квазикомпактных полуотделимых инд-схемах нильпотентного типа, ко-контра соответствие между полупроизводными категориями пучков кручения и копучков контрамодулей над полуотделимой инд-схемой, плоско расслоенной над инд-нетеровой инд-схемой нильпотентного типа со слоями-квазикомпактными схемами (в присутствии дуализирующего комплекса вдоль по базе);

(6) производный функтор полутензорного произведения квазикогерентных пучков кручения на инд-схеме, плоско расслоенной над инд-нетеровой инд-схемой со слоями-схемами; для аффинных схем -- ко-контра соответствие между полупроизводными категориями модулей кручения и контрамодулей, в той же ситуации;

(7) предыдущий пункт для DG-модулей над комплексами де Рама, в предположении формальной гладкости;

(8) производная кошулева и D-Ω двойственность (над одной из предыдущих ситуаций в роли базы -- скажем, (3) или (4)).

Пункты (5-7) по нынешнему состоянию характерны своим статусом "беспримерной теории" (идеи, как строить теорию, есть; естественных примеров почти нет). Ну, может быть, это со временем это изменится в ту или иную сторону.

Текущая (мартовская) версия контрагерентного препринта покрывает пункты (1-2) и немного оснований пункта (3). И занимает при этом 215 страниц...
Развитие постинга http://posic.livejournal.com/938974.html

Есть две формулы, одна из которых использует, условно говоря, контравариантную двойственность, а вторая -- ковариантную.

Во-первых, для конечных абелевых групп A и B котензорное произведение A□B можно определить как группу Hom(Hom(A,Q/Z)⊗Hom(B,Q/Z), Q/Z), где ⊗ обозначает тензорное произведение Z-модулей. После этого котензорное произведение произвольных абелевых групп кручения A и B определяется исходя из условия, что функтор этот должен коммутировать с направленными индуктивными пределами. Если A -- конечная абелева группа, а B -- произвольная абелева группа кручения, то A□B = Hom(Hom(A,Q/Z), B).

Во-вторых, для делимых абелевых групп кручения A и B котензорное произведение A□B можно определить как группу Q/Z ⊗ Hom(Q/Z,A) ⊗ Hom(Q/Z,B), где тензорное произведение берется над ∏p Zp. После этого котензорное произведение произвольных абелевых групп кручения A и B определяется исходя из условия, что функтор этот должен быть точным слева. Если A -- делимая, а B -- произвольная абелева группа кручения, то A□B = Hom(Q/Z,A) ⊗ B.

Первый абзац обобщается на случай, когда на месте ∏p Zp стоит произвольное про-артиново топологическое коммутативное кольцо, на месте абелевых групп кручения -- дискретные модули, а на месте Q/Z -- произвольно выбранная инъективная оболочка прямой суммы всех неприводимых дискретных модулей.

Второй абзац имеет смысл в случае, когда на месте ∏p Zp стоит нетерово коммутативное кольцо, на месте делимых абелевых групп кручения -- инъективные модули, а на месте Q/Z -- дуализирующий комплекс. Дальше, hopefully, это можно обобщить на случай про-нетерова топологического коммутативного кольца и дискретных модулей. (Впрочем, наверное, и первому абзацу можно придать смысл для нетерового кольца и дуализирующего комплекса...)
Чего-чего не бывает?

Во-первых, категория D-модулей над инд-про-схеме (в простейшей ситуации двойного предела гладких схем конечного типа относительно замкнутых вложений и гладких морфизмов, образующих декартовы квадраты) была определена (простейшим способом, как индуктивный предел категорий D-модулей на аппроксимирующих схемах относительно функторов прямого и обратного образа) еще в старой работе http://arxiv.org/abs/math/0107143 . В той же работе можно найти настоящую формулировку проблемы, о которой здесь идет речь: нет функтора глобальных сечений таких D-модулей.

Во-вторых, если говорить о функторе глобальных сечений D-модулей, то его вообще нет. Совсем, то есть, в принципе. Есть глобальные сечения левых D-модулей и глобальные сечения правых D-модулей. Конечно, на аффинном гладком конечномерном многообразии одно через другое переписывается, но вне рамок этой простейшей ситуации -- это два совершенно разных функтора. На одной-единственной категории левых = правых D-модулей есть два разных функтора "левых" и "правых" глобальных сечений (или, если угодно, "левых" и "правых" подлежащих O-модулей).

Проблема с инд-про-схемой (согласно статье по ссылке) в том, что объекты (вышеописанной) категории D-модулей на ней не реализуются ни как левые, ни как правые D-модули. Поскольку прямые образы при замкнутых вложениях бывают у правых D-модулей, а обратные образы при гладких морфизмах -- у левых. Функторы эти образуют коммутативные диаграммы при декартовых квадратах, так что прямой предел категорий имеет смысл. Но индуктивные системы пространств глобальных сечений можно сформировать -- по замкнутым вложениям для "правых" сечений, по гладким морфизмам для "левых", а по тем и другим одновременно -- ни для каких.

В третьих, вот, пожалуйста, определение триангулированной категории D-модулей на (хорошей) инд-схеме инд-бесконечного типа вместе с функтором "правых" глобальных сечений на ней. Вернее сказать, даже двух таких категорий, отличающихся технической деталью конструкции (надо посчитать что-нибудь, чтобы понять, какая из них правильнее).

Пусть инд-схема X представлена направленной индуктивной системой схем Xα и их замкнутых вложений. Предположим, что схемы Xα гладки над полем k, скажем, в том смысле, что каждая Xα допускает покрытие открытыми подсхемами, представимыми как проективные пределы направленных проективных систем гладких схем конечного типа и гладких аффинных морфизмов между ними.

Определим триангулированную категорию D-модулей над каждой схеме Xα как производную (или, может быть, копроизводную) категорию DG-модулей над комплексом де Рама схемы Xα (определяемым наивно как внешняя алгебра от кэлеровых дифференциалов). Заметим, что любой морфизм гладких многообразий является одновременно морфизмом пространств, окольцованных пучками DG-алгебр де Рама, так что прямые и обратные образы DG-модулей над комплексами де Рама определяются самым стандартным образом (так же, как для O-модулей, и проще, чем для D-модулей).

Триангулированную категорию D-модулей на всей инд-схеме X можно тогда определить, как прямой предел триангулированных категорий D-модулей на Xα. Это, конечно, не совсем правильное определение. Корректнее будет придумать какое-нибудь определение "DG-модуля над комплексом де Рама на X" так, чтобы всякий такой DG-модуль был индуктивным пределом DG-модулей над комплексами де Рама на Xα, и потом перейти к (ко)производной категории таких "DG-модулей". Скажем, можно рассматривать комплексы квазикогерентных пучков кручения на X, на которых для каждого α на максимальном подпучке, являющемся квазикогерентным пучком на Xα, есть структура DG-модуля над комплексом де Рама схемы Xα, что-нибудь такое.

Но для наших целей (демонстрации возможности) построения функтора "правых" глобальных сечений хватит и наивной конструкции прямого предела категорий. Ключевое наблюдение состоит в том, что "функтор решений" сопоставляет правому D-модулю D -- DG-модуль O над комплексом де Рама. Поэтому интересующий нас функтор на категории DG-модулей над комплексом де Рама на Xα можно просто определить как (R)Hom из DG-модуля O.

Далее, функтор прямого образа при вложении iβα: Xα → Xβ сопоставляет DG-модулю OXα -- DG-модуль iβα*OXα, на который естественным образом сюръективно отображается DG-модуль OXβ. Это позволяет перейти к прямому пределу по α и определить глобальные сечения объекта прямого предела категорий DG-модулей над комплексами де Рама на Xα.

Что же происходит с обратными образами при гладких морфизмах? Допустим, имеется гладкий морфизм схем Xα → Zα (конечной или бесконечной относительной размерности). Тогда обратный образ DG-модуля OZα -- это относительный (послойный) комплекс де Рама для Xα над Zα. Никакого морфизма DG-модулей в этот комплекс из DG-модуля OXα нет. Так что "правое D-модульное" глобальное сечение DG-модуля над комплексом де Рама Zα никакого аналогичного сечения обратного образа этого DG-модуля на Xα не определяет.

Зато, если относительная размерность Xα над Zα конечна, есть естественный морфизм DG-модулей из послойного пучка старших форм в относительный комплекс де Рама на Xα. Подкрутка, которой и следовало ожидать от правых D-модулей.
Лемма. Пусть кольцо R когерентно слева, кольцо S когерентно справа, и D -- дуализирующий комплекс для колец R и S. Пусть R → R' и S → S' -- сюръективные гомоморфизмы колец, причем ядро отображения R → R' конечно порождено как левый идеал в R, а ядро отображения S → S' -- как правый идеал в S. Тогда если максимальный подкомплекс в D, являющийся комплексом левых R'-модулей, совпадает с максимальным подкомплексом, являющимся комплексом правых S'-модулей, то этот подкомплекс D' является дуализирующим комплексом для колец R' и S'.

Доказательство: см. http://posic.livejournal.com/935507.html

Пусть теперь R0 ← R1 ← R2 ← ... и S0 ← S1 ← S2 -- две проективные системы некоммутативных колец и сюръективных отображений между ними, причем кольца Rn нетеровы слева, кольца Sn когерентны справа, и ядра гомоморфизмов Sn → Sm являются конечно порожденными правыми идеалами.

Пусть Dn -- дуализирующие комплексы для Rn и Sn, причем максимальный подкомплекс в Dn, являющийся комплексом левых Rn−1-модулей, совпадает с максимальным подкомплексом, являющимся комплексом правых Sn−1-модулей, и отождествлен, как комплекс Rn−1-Sn−1-бимодулей, с Dn−1. (Равномерная ограниченность когомологических градуировок комплексов Dn не предполагается, но каждый из них должен быть, как обычно, конечным комплексом.)

Пусть R и S обозначают проективные пределы lim Rn и lim Sn (рассматриваемые как топологические кольца). В такой ситуации, хотелось бы доказать следующее утверждение.

Теорема. Выбор индуктивной системы комплексов Dn индуцирует эквивалентность между копроизводной категорией дискретных левых R-модулей и контрапроизводной категорией левых S-контрамодулей.

Идея доказательства: положим D = lim Dn. Копроизводная категория дискретных левых R-модулей эквивалентна гомотопической категории инъективных дискретных левых R-модулей, а контрапроизводная категория левых S-контрамодулей эквивалентна контрапроизводной категории плоских левых S-контрамодулей (определяемых как постинге в http://posic.livejournal.com/936483.html ). Функторы HomR(D,−) и D⊙S− (контратензорное произведение) отождествляют две последние категории.
Пусть X -- инд-схема, представимая направленной индуктивной системой спектров локальных артиновых колец Aα и их замкнутых вложений, и пусть Y -- инд-схема, представимая направленной индуктивной системой плоских схем Yα над Spec Aα и их замкнутых вложений, образующих декартовы квадраты с морфизмами Spec Aβ → Spec Aα. Зафиксируем какую-нибудь инъективную оболочку E единственного неприводимого объекта в категории квазикогерентных пучков кручения на X. В этой ситуации, хотелось бы определить не точный ни слева, ни справа функтор полутензорного произведения (относительно X) квазикогерентных пучков кручения на Y.

Заметим, что подлежащие топологические пространства всех схем Yα совпадают, и открытое подмножество этого топологического пространства соответствует аффинной открытой подсхеме во всех Yα одновременно (см. Хартсхорн "Алгебраическая геометрия", упр. III.3.1, EGA II Thm. 5.2.1 (критерий аффинности Серра), EGA III Thm. 1.3.1 (когомологии аффинных схем). Поэтому достаточно определить искомый функтор в случае инд-аффинной инд-схемы Y таким образом, чтобы он был согласован с ограничениями на (главные) аффинные открытые подсхемы.

Рассмотрим сначала случай, когда все кольца Aα являются конечномерными алгебрами над полем k. Тогда квазикогерентные пучки кручения на X -- это то же самое, что комодули над прямым пределом C коалгебр Homk(Aα,k) над k, и за E можно взять саму коалгебру C. В этом случае, согласно http://posic.livejournal.com/939189.html , с Y можно связать полуалгебру S над коалгеброй C; при этом категория квазикогерентных пучков кручения на Y эквивалентна категории S-полумодулей. Искомый функтор полутензорного произведения квазикогерентных пучков кручения на Y есть просто полутензорное произведение полумодулей над S (производящее в данном случае из двух полумодулей над S третий -- видимо, ввиду полукоммутативности S).

В неаффинной ситуации над полем, на Y появляется пучок полуалгебр S, являющийся квазикогерентным пучком кручения. Функтор локализации по элементу структурного пучка, будучи точным, коммутирует с полутензорными произведениями.

В общем случае на категории квазикогерентных пучков кручения на X имеется функтор котензорного произведения (см. 1202.2697, раздел 1.9, ср. http://posic.livejournal.com/938974.html ). Если Y инд-аффинна, то тензорное произведение E⊗O(X)O(Y) (понимаемое как прямой предел по α тензорных произведений E(α)⊗AαO(Yα), где E(α) обозначает максимальный подпучок в E, сосредоточенный на Spec Aα -- !-ограничение) является (полу)алгеброй в этой тензорной категории. Категория квазикогерентных пучков на Y должна описываться как категория полумодулей над этой полуалгеброй, и отсюда функтор полутензорного произведения.
Как же я упустил в свое время такую статью? -- http://mi.mathnet.ru/rus/faa/v23/i3/p61
Лемма. Носитель ненулевого очень плоского модуля над коммутативным кольцом R без нильпотентных элементов содержит непустое открытое подмножество в Spec R.

Доказательство. Пусть очень плоский модуль F над R является прямым слагаемым трансфинитно итерированного расширения M = ∪α Mα модулей вида R[s−1]. В частности, F является R-подмодулем в M; рассмотрим самое меньшее α, для которого F пересекается с Mα внутри M и обозначим через G это пересечение. Тогда G является ненулевым R-подмодулем одновременно в F и в R[s−1] для некоторого s∈R.

Следовательно, G[s−1] является ненулевым идеалом в кольце R[s−1]; при этом носитель R[s−1]-модуля G[s−1] равен пересечению носителя R-модуля G со Spec R[s−1] ⊂ Spec R. Ввиду точности справа функтора тензорного произведения, носитель R[s−1]-модуля G[s−1] (а следовательно, и R-модуля G) содержит дополнение V(s,G) к носителю R[s−1]-фактормодуля R[s−1]/G[s−1] в Spec R[s−1]. Последний есть замкнутое подмножество, соответствующее идеалу G[s−1] ⊂ R[s−1]; если в R нет нильпотентов, открытое подмножество V(s,G) ⊂ Spec R[s−1] непусто.

Покажем, что носитель F содержит V(s,G). Пусть p ∈ V(s,G) ⊂ Spec R -- простой идеал в R и kp -- его поле вычетов. Тогда отображение kpR G → kpR R[s−1] = kp сюръективно согласно рассуждениям выше, отображение kpR Mα → kpR M инъективно ввиду плоскости M/Mα, и отображение kpR F → kpR M инъективно, поскольку F является прямым слагаемым в M [это наблюдение мы, кажется, не используем]. Наконец, композиция G → F → M и отображение G → R[s−1] факторизуются через одно и то же отображение G → Mα.

Теперь из коммутативности диаграммы G → Mα → R[s−1] следует, что отображение kpR G → kpR Mα ненулевое, из диаграммы G → Mα → M видно, что отображение kpR G → kpR M ненулевое, и из коммутативности диаграммы G → F → M следует, что отображение kpR G → kpR F ненулевое. Лемма доказана.

Следствие. Пусть F -- очень плоский модуль над кольцом R и Z -- замкнутое подмножество в Spec R. Тогда если носитель F в Spec R пересекается с Z, то он содержит непустое открытое подмножество в Z.

Доказательство: снабдим Z структурой приведенной замкнутой подсхемы в Spec R и положим S = O(Z). Тогда пересечение Z ∩ Supp F совпадает с носителем модуля S ⊗R F в Spec S = Z ⊂ Spec R. Заметим, что S-модуль S ⊗R F очень плоский. Теперь если S ⊗R F = 0 равен нулю, то пересечение Z ∩ Supp F пусто, а в противном случае оно содержит непустое открытое подмножество в Spec S согласно лемме выше.

Замечание: из рассуждения выше видно, что в лемме можно заменить условие отсутствия нильпотентов в кольце R на условие незануления тензорного произведения F на факторкольцо S кольца R по его нильрадикалу. В частности, это условие автоматически выполнено, если нильрадикал R нильпотентен (как идеал), что включает все нетеровы кольца R. С другой стороны, нетрудно привести пример плоского модуля над коммутативным кольцом R, аннулируемого приведением по модулю нильрадикала. Достаточно взять за R кольцо многочленов от x, x1/2, x1/4, ... над полем k = S, с соотношениями xr = 0 если r > 1, а за F -- нильрадикал ("идеал аугментации") в R. Модуль F над R плоский, поскольку он является прямым пределом свободных R-модулей x1/2n ⊗ R при возрастающих n.

Доказательство теоремы 2 из предыдущего постинга: пусть F -- очень плоский R-модуль. Обозначим через Z замыкание дополнения к Supp F в Spec R. Тогда, по определению, Supp F содержит дополнение к Z в Spec R, и в Z нет открытых подмножеств, содержащихся в Supp F. Согласно следствию выше, из последнего наблюдения следует, что Supp F не пересекается с Z, т.е., Supp F есть дополнение к замкнутому множеству Z в Spec R.
В предыдущей серии постингов было показано, что некоторые морфизмы алгебраических многообразий являются очень плоскими. Цель этого постинга, навеянного комментом http://posic.livejournal.com/780534.html?thread=4384502#t4384502 -- показать, что очень плоские морфизмы схем обладают некоторыми хорошими свойствами, которыми не обладают, вообще говоря, произвольные плоские морфизмы.

Начнем со следующего простейшего контрпримера плоского, но не очень плоского морфизма нетеровых схем.

Пример. Морфизм схем Spec Q → Spec Z не является очень плоским.

Доказательство: речь идет о том, что Z-модуль Q не является очень плоским. В самом деле, представим себе, что группа Q является прямым слагаемым, или даже просто подгруппой, трансфинитно итерированного расширения A = ∪α Aα абелевых групп вида Z[n−1], где n пробегает натуральные числа. Рассмотрим самое меньшее α, для которого Aα пересекается с Q внутри A. Пусть B обозначает это пересечение; тогда B является ненулевой подгруппой в Q, являющейся одновременно подгруппой группы вида Z[n−1]. При этом факторгруппа Q/B, будучи подгруппой в A/Aα, не содержит кручения. Но в этом случае ненулевые элементы B не могут быть бесконечно делимы в Q на простые числа, не входящие в n. Противоречие.

Таким образом, классы плоских и очень плоских модулей (а соответственно, и классы контраприспособленных модулей и модулей кокручения) не совпадают уже в случае модулей над кольцом целых чисел. Ответ на вопрос, которым заканчивается заглавный постинг по ссылке, отрицательный.

Следующее утверждение можно найти в книжке Хартсхорна "Алгебраическая геометрия" (упражнение III.9.1) [Upd.: вот ссылка на более общее утверждение, EGA IV2 Thm 2.4.6 -- http://mathoverflow.net/questions/126745/are-the-projection-morphisms-from-a-product-of-varieties-necessarily-open ]:

- всякий плоский морфизм конечного типа между нетеровыми схемами является открытым отображением.

Доказательство основано на комбинации утверждений, что образ морфизма конечного типа между нетеровыми схемами является конструктивным подмножеством (упражнение II.3.19) и что образ плоского морфизма схем является подмножеством, стабильным относительно генерализации.

Последнее выводится из следующей леммы о модулях над коммутативным кольцом. Носителем модуля M над кольцом R называется множество всех точек p ∈ Spec R, для которых тензорное произведение kpR M не равно нулю, где kp обозначает поле вычетов схемы Spec R в точке p.

Лемма. Носитель плоского модуля над коммутативным кольцом R является подмножеством Spec R, стабильным относительно генерализации.

Доказательство: по существу, речь идет о том, что плоский модуль F над целостным локальным кольцом S с полем вычетов k и полем частных K, имеющий ненулевую редукцию k⊗SF, имеет также ненулевой модуль частных K⊗SF. В самом деле, модуль F ненулевой, и отображение F = S⊗SF → K⊗SF инъективно, поскольку инъективно отображение S → K.

Нашей целью является доказательство следующего общего утверждения.

Теорема 1. Всякий очень плоский морфизм схем является открытым отображением. (Никаких условий нетеровости или конечного типа не нужно; ср. с гипотезой из постинга от 2 апреля.)

Сформулированный результат очевидным образом вытекает из соответствующего утверждения о модулях над кольцами.

Теорема 2. Носитель очень плоского модуля над коммутативным кольцом R является открытым подмножеством в Spec R.

Доказательство будет дано в следующем постинге.
Теорема 1. Для любой схемы конечного типа X над полем k, естественные морфизмы проекции AXn → X являются очень плоскими.

Доказательство: предположим сначала, что поле k бесконечно. Ввиду соображений из примера 4 предпредыдущего постинга, а также факта замнутости класса очень плоских морфизмов относительно композиций, достаточно показать, что морфизмы проекции π: Akn+1 → Akn являются очень плоскими. Воспользуемся индукцией по n; случай n = 0 очевиден.

Пусть U -- главное аффинное открытое подмножество в An+1; требуется доказать, что O(U) является очень плоским O(An)-модулем. Дополнение к U в An+1 является аффинной гиперповерхностью -- множеством нулей полинома от n + 1 переменных. Разложим его на неприводимые множители и выделим те, которые не зависят от последней переменной (которую забывает проекция). Таким образом, дополнение к U в An+1 раскладывается в объединение Z ∪ π−1(W), где W -- гиперповерхность в An, а Z -- гиперповерхность в Аn+1, проекция которой на An является композицией плоского конечного гомеоморфизма и конечного этального морфизма вне полного прообраза Y ⊂ Z замкнутого подмножества X ⊂ An, где размерности Y и X не превосходят n − 1.

Поскольку класс очень плоских модулей замкнут относительно тензорных произведений, достаточно показать, что O(An)-модуль O(An+1\Z) очень плоский; так что можно считать W пустым. Далее, можно считать размерности всех неприводимых компонент подмногообразий X и Y в точности равными n − 1.

Выберем какую-нибудь невертикальную прямую (одномерное подпространство) в векторном пространстве kn+1, и проведем через каждую точку из Y аффинную прямую в An+1 в выбранном направлении. После перехода к замыканию в топологии Зарисского, зарисуется (в общем положении) некоторая гиперповерхность H в An+1. Замена координат делает выбранное невертикальное направление горизонтальным и координатным; в этих координатах, гиперповерхность H является полным прообразом гиперповерхности в "горизонтальном" An (расслаивающемся над An−1) при отображении забывания этой горизонтальной координаты.

Для каждой точки из An+1, не лежащей на Y, направления на точки из Y образуют (самое большее) (n−1)-мерное подмногообразие в n-мерном проективном пространстве направлений. Поэтому пересечение конечного числа гиперповерхностей типа H совпадает с Y. Ввиду локальности очень плоскости, достаточно показать, что кольцо O(An+1\(H∪Z)) является очень плоским O(An)-модулем. Ввиду предположения индукции по n, таковым является кольцо O(An\H).

Согласно теоремам 1-2 из предыдущего постинга, кольцо O(Z\H) является очень плоским O(An\X)-модулем, а значит, и O(An)-модулем. Согласно рассуждению из примера 2 предпредыдущего постинга, отсюда следует, что таковым является и кольцо O(An+1\(H∪Z)). Таким образом, мы доказали теорему для случая бесконечного поля k.

В случае конечного поля k, воспользуемся леммой из предыдущего постинга. Достаточно показать, что для любой схемы конечного типа X над любым полем k и любого алгебраического расширения полей L/k, морфизм f: XL → X удовлетворяет условиям леммы. Поскольку остальные условия очевидны, остается проверить, что морфизм f очень плоский. Можно считать схему X аффинной. Тогда любая главная аффинная открытая подсхема в XL определена над некоторым подполем l ⊂ L, конечным над k. Это сводит вопрос к случаю конечного расширения полей, в котором морфизм f очень плоский согласно теоремам 1-2 из предыдущего постинга.

Теорема 2. а) Любой конечный плоский морфизм одномерных схем конечного типа над полем k является очень плоским.
б) Любой плоский (или, что то же самое, квазиконечный) морфизм конечного типа из приведенной одномерной схемы в гладкую одномерную схему конечного типа над полем k является очень плоским.

Доказательство: пункт а) получается рассуждением из примера 1 предпредыдущего постинга. Если Y → X -- наш плоский конечный морфизм аффинных кривых и U ⊂ Y -- открытое подмножество, получающееся выкалыванием нескольких точек, можно рассмотреть открытое подмножество V ⊂ Y, получающееся выкалыванием дополнения до множества точек Y\U в полном прообразе образа этого множества точек при морфизме Y → X. В случае выкалывания неприводимых компонент, можно рассуждать аналогичным образом про неприводимые компоненты, сводя вопрос к уже рассмотренному. Пункт б) сводится к пункту а) с помощью основной теоремы Зарисского (вложения квазиконечного морфизма в конечный).
Теорема 1. Любой конечный этальный морфизм нетеровых схем является очень плоским.

Доказательство: очевидно, можно считать обе схемы аффинными и связными. Пусть Spec S → Spec R -- наш морфизм; требуется доказать, что для любого s ∈ S модуль S[s−1] над кольцом R очень плоский.

Убедимся прежде всего, что достаточно рассматривать случай, когда Spec S → Spec R -- накрытие Галуа. В самом деле, пусть Spec T → Spec S -- конечный этальный морфизм, такой что композиция Spec T → Spec S → Spec R является накрытием Галуа. Заметим, что S[s−1]-модуль T[s−1] конечно порожденный и плоский, а следовательно, и проективный. Если известно, что R-модуль T[s−1] очень плоский, то остается показать, что R-модуль S[s−1] является прямым слагаемым (конечной) прямой суммы его копий. Для этого достаточно проверить, что S[s−1]-модуль T[s−1] является проективной образующей категории S[s−1]-модулей.

Если бы это было не так, то существовал бы S[s−1]-модуль M, всякий морфизм в который из S[s−1]-модуля T[s−1] равен нулю. Поскольку функтор Hom из конечно порожденного модуля над коммутативным нетеровым кольцом коммутирует с локализацией по простым идеалам, а конечно порожденные проективные модули над локальным нетеровым кольцом свободны, это значило бы, что для любого простого идеала p в S[s−1], локализация S[s−1]-модуля M в котором не зануляется, зануляется локализация S[s−1]-модуля T[s−1] в p. Существование простых идеалов с последним свойством противоречит сюръективности морфизма Spec T → Spec S, которая в свою очередь следует из этальности + конечности морфизма и связности Spec S.

Пусть теперь G -- группа Галуа Spec S над Spec R. Для любого подмножества Γ ⊂ G рассмотрим элемент tΓ = ∏g∈Γ g(s) ∈ S. Будем доказывать утверждение, что S[tΓ−1] является очень плоским R-модулем, убывающей индукцией по числу элементов в Γ (при фиксированном числе элементов в G, но меняющихся, вообще говоря, кольцах R и S). База индукции: если Γ = G, то элемент tG = ∏g∈G g(s) = NormS/R(s) принадлежит R ⊂ S, и кольцо S[tG−1] является проективным модулем над R[tG−1].

Шаг индукции: пусть H ⊂ G -- стабилизатор подмножества Г при действии G на себе левыми умножениями, и пусть g1, ..., gn ∈ G -- множество представителей левых классов смежности G/H. Объединение открытых подсхем Spec S[gi(tΓ)−1] является G-инвариантным открытым подмножеством в Spec S, и следовательно, полным прообразом некоторой открытой подсхемы U ⊂ Spec R. Пользуясь локальностью очень плоскости и заменяя при необходимости схему Spec R на ее главные аффинные открытые подсхемы, образующие покрытие открытой подсхемы U, можно считать, что U = Spec R и объединение всех Spec S[gi(tΓ)−1] совпадает со Spec S.

Рассмотрим теперь точную последовательность Чеха для (структурного пучка и) покрытия аффинной схемы Spec S ее главными аффинными открытыми подсхемами Spec S[gi(tΓ)−1]. Самым левым нетривиальным членом является кольцо S, следующим -- прямая сумма всех S[gi(tΓ)−1], и дальнейшими -- прямые суммы колец S[tΔ−1] для подмножеств Δ ⊂ G, являющихся объединениями нескольких (более одного) подмножеств gi(Γ).

Остается воспользоваться предположением индукции вместе со свойством замкнутости класса всех очень плоских R-модулей относительно расширений и ядер сюръективных морфизмов (а также прямых слагаемых).

Замечание: по существу, вторая половина рассуждения выше представляет собой доказательство следующего более общего утверждения. Пусть конечная группа G действует на кольце S, так что S является конечно порожденным проективным (или, что то же самое, конечно представимым плоским) модулем над подкольцом инвариантных элементов SG. Тогда естественный морфизм Spec S → Spec SG очень плоский. В дополнение к сказанному выше, тут нужно еще отметить, что G транзитивно действует на слоях проекции Spec S → Spec SG (см. Атья-Макдональд, теорема 5.10 и упражнение 5.13). (Впрочем, нужно еще проверить, что образ G-инвариантного открытого подмножества в Spec S открыт в Spec SG, но это, кажется, несложно -- всякий G-инвариантный идеал в S содержится в нильрадикале расширения своего сужения в SG, ввиду теоремы Виета.)

Теорема 2. Любой конечный плоский теоретико-множественно биективный морфизм нетеровых схем является очень плоским.

Доказательство: плоский морфизм конечного типа открыт, так что в условиях теоремы морфизм является гомеоморфизмом. Очевидно, можно считать обе схемы аффинными; пусть Spec S → Spec R -- наш морфизм. Дело сводится к тому, чтобы показать, что открытое подмножество аффинно в Spec R, если оно аффинно в Spec S. Более того, можно ограничиться одними только главными аффинными открытыми подмножествами в Spec S. Таким образом, достаточно убедиться, что Spec S[s−1] = Spec S[NormS/R(s)−1] для любого s ∈ S. Последний вопрос сводится к случаю, когда R -- спектр поля, так что S -- артиново локальное кольцо. В этом случае утверждение очевидно (норма обратимого элемента обратима).

Лемма. Пусть f: W → X -- очень плоский аффинный морфизм схем, такой что для любого достаточно малого аффинного открытого подмножества U ⊂ X кольцо O(f−1(U)) является проективной образующей абелевой категории O(U)-модулей. Например, согласно теоремам 1-2 (и доказательству теоремы 1), любой сюръективный конечный этальный морфизм нетеровых схем и любой конечный плоский теоретико-множественно биективный морфизм нетеровых схем обладают этими свойствами. Тогда если g: Y → X -- морфизм схем и морфизм g': W×XY → W -- очень плоский, то и морфизм g очень плоский.

Доказательство: чтобы убедиться, что для аффинной открытой подсхемы V ⊂ Y, такой что g(V) ⊂ U, модуль O(V) над кольцом O(U) очень плоский, используем предположение леммы, согласно которому модуль O(f−1(U)×UV) над кольцом O(f−1(U)) очень плоский. Поскольку морфизм f очень плоский, кольцо O(f−1(U)×UV) является также очень плоским модулем над кольцом O(U). Наконец, поскольку O(f−1(U)) является проективной образующей категории O(U)-модулей, можно заключить, что кольцо O(V) является очень плоским O(U)-модулем.
Определение очень плоского модуля над коммутативным кольцом можно найти в старом постинге http://posic.livejournal.com/780534.html . Морфизм схем f: Y → X называется очень плоским, если для любых аффинных открытых подсхем V ⊂ Y и U ⊂ X, таких что f(V) ⊂ U, кольцо O(V) является очень плоским модулем над кольцом O(U). Например, морфизм аффинных схем Spec S → Spec R очень плоский тогда и только тогда, когда для любого элемента s ∈ S кольцо S[s−1] является очень плоским R-модулем.

Гипотеза. Всякий плоский морфизм конечного типа между нетеровыми схемами является очень плоским.

Пользуясь результатами раздела 1.2 контрагерентного препринта, нетрудно показать, что свойство морфизма схем быть очень плоским локально как по X, так и по Y, а также что класс очень плоских морфизмов замкнут относительно композиций. При этом ниоткуда не следует, что свойство морфизма схем быть очень плоским сохраняется, например, при замене базы. В остальном, вот несколько примеров элементарных рассуждений, которыми пока что ограничиваются мои знания об очень плоских морфизмах.

Пример 1. Разветвленное накрытие Spec C[x] → Spec C[t], определенное правилом t = x2, является очень плоским морфизмом.

Идея доказательства: проверим еще более конкретное утверждение, что кольцо C[x][(x−1)−1] является очень плоским модулем над C[x2]. В самом деле, имеется точная последовательность 0 → C[x] → C[x][(x−1)−1] ⊕ C[x][(x+1)−1] → C[x][(x2−1)−1] → 0, в которой C[t]-модуль C[x] очень плоский потому, что проективный, а C[t]-модуль C[x][(x2−1)−1] очень плоский потому, что проективный над C[t][(t−1)−1] (напомним, что конечно порожденный плоский модуль над нетеровым кольцом проективен). Остается воспользоваться фактом, что класс очень плоских R-модулей замкнут относительно расширений.

Пример 2. Проекция AC2 → AC1 является очень плоским морфизмом.

Идея доказательства: проверим еще более конкретное утверждение, что кольцо C[x,y][(xy−1)−1] является очень плоским модулем над C[x]. Представим кольцо C[x,y][(xy−1)−1] как прямой предел копий свободного модуля с одной образующей над кольцом C[x,y], вкладывающихся друг в друга отображенем умножения на xy−1. Заметим, что как кольцо C[x,y], так и факторкольцо C[x,y]/(xy−1) являются очень плоскими C[x]-модулями, и вспомним, что класс очень плоских R-модулей замкнут относительно трансфинитно-итерированных расширений.

Пример 3. Проекция AC3 → AC2 является очень плоским морфизмом.

Идея доказательства: пусть имеется аффинное открытое подмножество U в A3; нужно показать, что O(U) является очень плоским модулем над O(A2). Пусть Z -- структура приведенной замкнутой подсхемы на дополнении к U в A3. Хотелось бы воспользоваться локальностью по базе, чтобы избавиться от вертикальных прямых в Z (выкинув из A2 точки, полные прообразы которых лежат вне U, а потом перейдя к аффинному покрытию получившегося открытого подмножества). Потом воспользоваться локальностью по тотальному пространству, чтобы избавиться от точек Z, в которых проекция Z → A2 не является плоским морфизмом (покрыв дополнение к таким точкам в A3 объединением дополнений к конечным наборам параллельных наклонных плоскостей, например, что-нибудь в этом роде).

Тогда оставшаяся (открытая) часть Z отображается в A2 конечным плоским морфизмом. Хочется использовать аргумент из примера 1, чтобы показать, что функции на оставшейся части Z образуют очень плоский модуль над O(A2), а потом -- аргумент из примера 2, чтобы заключить, что функции на оставшейся части U тоже образуют такой модуль.

Пример 4. Для любой гладкой комплексной кривой X, проекция AX1 → X является очень плоским морфизмом.

Идея доказательства: можно локально вложить X в AC2, а потом воспользоваться (несложным, кажется) фактом, что класс очень плоских морфизмов замкнут относительно замен базы при замкнутых вложениях, и примером 3.

Пример 5. Для любого алгебраического многообразия X над полем k, проекция AX → X является очень плоским морфизмом.

Идея доказательства: рассуждение предполагает, что мы уже знаем, что все морфизмы проекции Akn+m → Akm очень плоские (см. следующие два постинга); тогда и морфизмы AXn → X очень плоские согласно рассуждению из примера 4. Теперь (считая X аффинным) всякое главное аффинное открытое подмножество в AX является дополнением к подсхеме нулей уравнения, зависящего только от конечного множества координат в A.
Инд-про-аффинная инд-про-схема, плоская над инд-конечной инд-схемой над полем -- это то же самое, что полукоммутативная полуассоциативная полуалгебра, коплоская над кокоммутативной коассоциативной коалгеброй. (Соответствие не вполне тривиально -- используется конструкция перехода от тензорного к котензорному произведению из главы 10 полубеск. книжки.)
Любимая игрушечная задачка -- как определить тензорную структуру на категории абелевых групп кручения, чтобы группа Q/Z была единичным объектом. Правильный ответ, конечно -- функтор TorZ1. Но как бы это попроще сконструировать явно? Время от времени начинаю думать на эту тему, что-то придумываю, потом обратно забываю; и так всю жизнь. (См., например, раздел 1.9 препринта 1202.2697.)
алгебраическая геометрия = когерентные пучки
топология алгебраических многообразий = конструктивные пучки
? = D-модули (в том числе, не обязательно голономные)

Тавтологический ответ "алгебраические системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных" ужасен. Нельзя ли придумать чего-нибудь получше?
Как известно, есть две версии производной категории D-модулей на гладком многообразии -- обычная и "пополненная вдоль нулевого сечения кокасательного расслоения". Попросту, это ко/контрапроизводная и обычная производная категории DG-модулей над комплексом де Рама.

Когда многообразие становится бесконечномерным, пучок колец дифференциальных операторов оказывается странным объектом. Скажем, векторные поля, они же дифференцирования -- это такие отображения из функций в функции. На про-конечномерном про-многообразии они оказываются несущими топологию пространства всех линейных отображений из одного бесконечномерного векторного пространства в другое (что слегка чересчур для пространства образующих ассоциативного кольца). На инд-многообразии это будет что-то еще более сложное.

Видимо, лучше говорить о комплексе де Рама (обладающем, помимо прочего, приятным свойством функториальности по отношению морфизмам многообразий). На инд-нульмерном инд-многообразии, этот комплекс несет топологию, приблизительно, компактного топологического векторного пространства (двойственного к дискретному). Видимо, это значит, что его надо рассматривать как такую DG-коалгебру. Т.е., правильные категории модулей над ним -- это модули кручения и контрамодули. У которых естественно брать ко/контрапроизводные категории, и можно надеяться, что они будут эквивалентны между собой по ко-контра соответствию.

На про-конечномерном про-многообразии, комплекс де Рама дискретен. Аналогично предыдущему это, видимо, значит, что его надо рассматривать как DG-алгебру, т.е., правильная категория модулей над ним -- это обычные (DG-)модули. У которых естественно брать обычную производную категорию (что означает пополенную производную категорию D-модулей). На конечномерном многообразии имеется выбор между двумя подходами.

В полубесконечной ситуации теперь естественно было бы иметь инд-про-схему, гладко расслоенную над гладкой инд-схемой нильпотентного типа. Комплекс де Рама на ней мыслился бы условно как "полуалгебра" над "коалгеброй де Рама базовой инд-схемы". Подходящими модульными категориями были бы "полумодули" (квазикогерентные пучки модулей кокручения в направлении инд-схемы и просто модулей в про-схемных направлениях) и "полуконтрамодули" (контрагерентные копучки контрамодулей в направлении инд-схемы и просто модулей в про-схемных направлениях).

У этих категорий DG-модулей имело бы смысл рассматривать полупроизводные категории (относительно базовой инд-схемы). Это были бы такие смеси обычных производных категорий D-модулей в инд-схемных направлениях и производных категорий D-модулей, пополненных вдоль нулевого сечения кокасательного расслоения, в про-схемных направлениях. Более явно, это мыслилось бы как пополнение производной категории D-модулей на инд-про-схеме вдоль подмногообразия в ее кокасательном расслоении, состоящего из ковекторов, аннулирующих касательные пространства к слоям.

Обычные (наивно определяемые как объекты двойного прямого предела категорий) D-модули на инд-про-схеме должны были бы представлять (некоторые, но далеко не все) объекты этой полупроизводной категории. Может быть, это были бы, грубо-приблизительно, ее компактные образующие...

Наконец, полубесконечные (ко)гомологии всего этого хозяйства (определяемые, скажем пока за отсутствием лучших идей, просто через ко-контра соответствие) могли бы быть вычисляемы полубесконечным комплексом де Рама (как его определяют К.-В., например).

P.S. Отметим, что понятие "инд-нетеровой инд-схемы нильпотентного типа" включает возможность наличия ненильпотентных переменных, образующих любую нетерову схему. Т.е, даже предполагая возможность расслоить интересующую нас инд-про-схему инд-про-конечного типа над инд-схемой инд-конечного и нильпотентного типа, остается еще некий произвол в смысле того, на какую сторону (инд- или про-) отправить то или иное конечное множество направлений/переменных. Конструкция полупроизводной категории к этому чувствительна. Все это -- обычная для полубесконечных (ко)гомологий и т.п. ситуация с необходимостью выбора "нулевого уровня" (компактно-открытой подалгебры в тейтовской алгебре Ли, компактно-открытой подгруппы в локально компактной вполне несвязной группе, и т.п.)
И вот вам (если я ничего не упустил) готовое определение контрагерентного копучка контрамодулей над инд-нетеровой инд-схемой нильпотентного типа. В смысле, инд-схемой, представимой счетной направленной индуктивной системой нетеровых схем и их замкнутых вложений, индуцирующих изоморфизмы максимальных приведенных подсхем.

Только условие локального кокручения на такие контрамодули непонятно пока, как накладывать. Хорошей теории плоских контрамодулей и контрамодулей кокручения нет у меня в этой общности, только теория очень плоских и контраприспособленных контрамодулей теперь появилась.

Интересно, что к концу мая прошлого года ситуация была обратной: для формальных схем была теория плоских контрамодулей и контрамодулей кокручения, а теории очень плоских и контраприспособленных контрамодулей не было. Нынешний виток этой спирали противоположно направлен по сравнению с предыдущим. Вот за этим я и таскаю с собой все свои контрагерентно-копучковые теории всегда в двух вариантах -- никогда не угадаешь, какой из них лучше сработает в очередной ситуации.

И еще: это разумный объект -- инд-нетерова инд-схема нильпотентного типа? В смысле -- всякая ли вещь, имеющая такой вид локально в топологии Зарисского, является таковой глобально? (Для формальных схем это очевидно, поскольку есть каноническое представление в виде прямого предела замкнутых подсхем, связанных с убывающей фильтрацией степенями нильрадикала.) Есть ли здесь место для естественного обобщения?
R-контрамодуль Q называется контраприспособленным, если Hom в него в категории R-контрамодулей переводит точные тройки очень плоских R-контрамодулей в точные тройки (абелевых групп, или R-модулей, или R-контрамодулей -- все равно). Ввиду результатов предыдущего постинга, это эквивалентным образом означает, что Ext1 в Q в категории R-контрамодулей из любого очень плоского R-контрамодуля равен нулю, или что то же самое верно для всех Ext>0.

Лемма 0. Пусть A -- коммутативное кольцо, I ⊂ J -- конечно порожденные нильпотентные идеалы в A. Пусть Q -- такой A-модуль, что A/J-модуль Q/JQ контраприспособлен. Тогда A-модуль IQ контраприспособлен тоже.

Доказательство: на IQ имеется конечная убывающая фильтрация IQ ⊃ JIQ ⊃ J2IQ ⊃ ... ⊃ JNIQ = 0, так что достаточно показать, что A/J-модули JmIQ/Jm+1IQ контраприспособлены для всех m ≥ 0. Но эти модули являются фактормодулями конечных прямых сумм копий A/J-модуля Q/JQ.

Лемма 1. Пусть P -- R-контрамодуль, для которого естественное отображение P → limn P/In#P является изоморфизмом. Тогда если R0-модуль P/I0#P контраприспособлен, то и R-контрамодуль P контраприспособлен.

Доказательство: применяя лемму 0 к кольцу A = Rn с идеалами I = In−1/In и J = I0/In и A-модулю Q = Pn = P/In#P, заключаем, что Rn-модуль (In−1/In)Pn контраприспособлен. Пусть H → G → F -- точная тройка очень плоских R-контрамодулей; положим Fn = F/In#F, и аналогично для G и H. Задание морфизма R-контрамодулей H → P эквивалентно заданию морфизма проективных систем Rn-модулей Hn → Pn. Будем строить по индукции продолжение этого морфизма до морфизма проективных систем Gn → Pn; допустим, морфизм Gn−1 → Pn−1 уже построен. Поскольку ядро морфизма Pn → Pn−1 является контраприспособленным Rn-модулем, композицию Gn → Gn−1 → Pn−1 можно поднять до отображения Gn → Pn. Композиция полученного отображения с вложением Hn → Gn отличается от желаемого отображения Hn → Pn прибавлением отображения из Hn в ядро проекции Pn → Pn−1. Поскольку Rn-модуль Fn очень плоский, последнее отображение можно продолжить с Hn на Gn и прибавить результат к уже имеющемуся отображению Gn → Pn.

Следующая конструкция является ключевой для рассматриваемого подхода.

Лемма 2. Пусть P -- R-контрамодуль, для которого естественное отображение P → limn P/In#P является изоморфизмом. Тогда P можно вложить в контраприспособленный R-контрамодуль Q так, чтобы факторконтрамодуль Q/P был очень плоским.

Доказательство: рассматривая R как абстрактное (нетопологическое) кольцо, а P -- как R-модуль (игнорируя на мгновение контрамодульную структуру), вложим P в контраприспособленный R-модуль K так, чтобы R-фактормодуль F = K/P был очень плоским. Тогда, поскольку R-модуль F, в частности, плоский, имеются точные последовательности Rn-модулей 0 → P/InP → K/InK → F/InF → 0. Вспоминая теперь R-контрамодульную структуру на P, мы имеем также сюръективные отображения Rn-модулей P/InP → P/In#P и индуцированные точные последовательности 0 → P/In#P → K/(InK+In#P) → F/InF → 0.

Переходя к проективным пределам этих морфизмов точных последовательностей, получаем морфизм из точной последовательности 0 → limn P/InP → limn K/InK → limn F/InF → 0 в точную последовательность 0 → limn P/In#P → limn K/(InK+In#P) → limn F/InF → 0. Отображение limn P/InP → limn P/In#P всегда сюръективно, поскольку сюръективно факторизующееся через него отображение P → P/#InP. Следовательно, и отображение limn K/InK → limn K/(InK+In#P) сюръективно тоже.

Положим теперь L = limn K/InK и Q = limn K/(InK+In#P), а также G = limn F/InF. Все три предела являются естественным образом R-контрамодулями. Согласно лемме 0 из предыдущего математического постинга, имеем L/In#L = K/InK и G/In#G = F/InF. Таким образом, R-контрамодуль G очень плоский. Далее, R0-модуль Q/I0#Q является фактормодулем контраприспособленного R0-модуля L/I0#L, и следовательно, тоже контраприспособлен. Остается использовать лемму 1.

Лемма 3. Любой R-контрамодуль можно представить как факторконтрамодуль очень плоского R-контрамодуля по контраприспособленному R-подконтрамодулю.

Доказательство: представить произвольный R-контрамодуль P как факторконтрамодуль свободного R-модуля H (который, в частности, очень плоский), вложить ядро K отображения F → P в контраприспособленный R-контрамодуль Q так, чтобы факторконтрамодуль F = Q/K был очень плоским, рассмотреть индуцированные расширения K → G → P и H → G → F, и использовать лемму 2 из предыдущего математического постинга. Здесь существенно, что отображение K → limn K/In#K является изоморфизмом, поскольку отображение H → limn H/In#H таковым является. (Это стандартное рассуждение по типу того, что Eklof-Trlifaj приписывают Salce.)

Лемма 4. Любой R-контрамодуль можно вложить в контраприспособленный R-контрамодуль так, чтобы факторконтрамодуль был очень плоским.

Доказательство: представить произвольный R-контрамодуль P в виде факторконтрамодуля очень плоского R-контрамодуля G по контраприспособленному R-контрамодулю K, вложить R-контрамодуль G (удовлетворяющий условию леммы 2) в контраприспособленный R-контрамодуль L так, чтобы факторконтрамодуль F = L/G был очень плоским, и обозначить через N коядро композиции инъективных морфизмов R-контрамодулей K → G → L. Тогда R-контрамодуль N контраприспособлен, поскольку класс контраприспособленных R-контрамодулей замкнут относительно коядер вложений (как прямо следует из одного из определений в начале постинга), и даже вообще относительно перехода к факторконтрамодулям (как можно заключить из следствия в конце предыдущего математического постинга). При этом R-контрамодуль P вкладывается в N с коядром F. (Это рассуждение по типу тех, что используются в книжке Semimodules для построения резольвент.)

Следствие. R-контрамодуль контраприспособлен тогда и только тогда, когда он является контраприспособленным R-модулем.

Доказательство: ввиду конструкций выше, всякий контраприспособленный R-контрамодуль можно получить из R-контрамодулей вида K = limn K/InK, где K пробегает контраприспособленные R-модули, с помощью операций перехода к коядру вложения и прямому слагаемому. Класс контраприспособленных R-модулей замнут относительно этих операций, и R-модули описанного явного вида контраприспособлены ввиду рассуждений из раздела B.10 в 1202.2697v3 и начала раздела C.3 в 1209.2995v3 (ср. с доказательством леммы 1 выше). Таким образом, все контраприспособленные R-контрамодули являются одновременно контраприспособленными R-модулями.

Обратно, пусть R-контрамодуль P является контраприспособленным R-модулем. Представим P в виде факторконтрамодуля плоского R-контрамодуля F по контраприспособленному R-подконтрамодулю Q. По доказанному, Q является тогда контраприспособленным R-модулем, а следовательно, таковым является и F. Теперь R0-модуль F/I0#F контраприспособлен как фактормодуль контраприспособленного R-модуля, откуда R-контрамодуль F контраприспособлен по лемме 1 (первому условию которой он удовлетворяет, поскольку он плоский). Теперь R-контрамодуль P контраприспособлен как коядро вложения контраприспособленных R-контрамодулей Q → F.
Пусть R0 ← R1 ← R2 ← ... -- проективная система нетеровых коммутативных колец и сюръективных отображений между ними, ядра которых являются нильпотентными идеалами. Обозначим через R проективный предел limn Rn, рассматриваемый как топологическое кольцо (в топологии проективного предела дискретных колец Rn). Очевидно, гомоморфизмы колец R → Rn сюръективны; обозначим через In ⊂ R их ядра. Тогда идеалы In образуют базу окрестностей нуля в топологическом кольце R.

Нас интересуют контрамодули над топологическим кольцом R. Для любого R-контрамодуля P и замкнутого идеала I ⊂ R будем обозначать через I#P ⊂ P образ отображения контрадействия I[[P]] → P. Как обычно, для любого R-модуля M через IM обозначается образ отображения действия I⊗RM → M. Для R-контрамодуля P имеет место включение IP ⊂ I#P -- вообще говоря, не являющееся равенством.

Как известно, для любого R-контрамодуля P естественное отображение в проективный предел P → limn P/In#P сюръективно (см. Semimodules, Lemma A.2.3 and Remark A.3). Будем называть R-контрамодуль P плоским, если это отображение является изоморфизмом и R/In-модули P/In#P плоские для всех n. R-контрамодуль F называется очень плоским, если он плоский и R/In-модули F/In#F очень плоские для всех n.

Лемма 0. Пусть P0 ← P1 ← P2 ← ... -- проективная система Rn-модулей, в которой морфизм Pn → Pn−1 отождествляет Pn−1 с Rn−1RnPn. Тогда если P -- R-контрамодуль limn Pn, то естественное отображение P → Pn отождествляет Pn с P/In#P. Обратно, для любого R-контрамодуля P проективная система Rn-модулей Pn = P/In#P удовлетворяет условию выше.

Доказательство: поскольку Pn является Rn-модулем, а P → Pn -- морфизм R-контрамодулей, ядро этого морфизма содержит In#P. Чтобы доказать обратное включение, рассмотрим элемент p ∈ P, принадлежащий ядру морфизма P → Pn. Образ элемента p в Pn+1 принадлежит (In/In+1)Pn+1; разложим этот образ соответствующим образом в конечную линейную комбинацию, поднимем входящие в нее элементы Pn+1 в P и элементы In/In+1 в In, и вычтем из p соответствующую конечную линейную комбинацию элементов P с коэффициентами из In. Образ полученного элемента p' ∈ P в Pn+1 равен нулю, так что его образ в Pn+2 принадлежит (In+1/In+2)Pn+2. Продолжая описанный процесс неограниченно, мы получим выражение элемента p в виде счетной линейной комбинации элементов из P с коэффициентами, образующими сходящуюся к нулю последовательность в In. Это доказывает первое утверждение леммы; второе утверждение очевидно.

Лемма 1. Если G → F -- сюръективный морфизм плоских R-контрамодулей, то его ядро H -- тоже плоский R-контрамодуль. При этом последовательности 0 → H/In#H → G/In#G → F/In#F → 0 точны.

Доказательство: очевидно, для любой точной тройки R-контрамодулей 0 → H → G → F → 0 имеются точные последовательности Rn-модулей 0 → H/H∩(In#G) → G/In#G → F/InF → 0. Если Rn-модуль F/InF плоский, то тензорное умножение на Rn−1 над Rn преобразует эту последовательность в аналогичную последовательность с номером n−1. С другой стороны, если отображения F → limn F/InF и G → limn G/InG являются изоморфизмами, то, переходя к проективному пределу точных последовательностей выше, мы можем заключить, что отображение H → limn H/H∩(InG) является изоморфизмом. Согласно лемме 0, из этих утверждений следует, что H∩(In#G) = In#H и последовательности 0 → H/In#H → G/In#G → F/In#F → 0 точны. Наконец, теперь если Rn-модули G/In#G плоски, то таковы же и Rn-модули H/In#H.

Лемма 2. Если 0 → H → G → F → 0 -- точная последовательность R-контрамодулей и R-контрамодули H и F плоские, то R-контрамодуль G тоже плоский.

Доказательство: ввиду доказательства леммы 1, достаточно показать, что отображение G → limn G/In#G является изоморфизмом. Выберем сюръективное отображение на точную тройку H → G → F из точной тройки свободных R-контрамодулей W → V → U. Пусть M → L → K -- соответствующая точная тройка ядер. Переходя к проективному пределу последовательностей 0 → L/L∩(In#V) → V/In#V → G/In#G → 0, получаем точную последовательность 0 → limn L/L∩(In#V) → V → limn G/In#G → 0. Очевидно, отображение L → limn L/In#L является изоморфизмом, поскольку таковым является отображение V → limn V/In#V. Таким образом, остается показать, что изоморфизмом является отображение L → limn L/L∩(In#V). Эквивалентным образом, это означает зануление производного функтора проективного предела limn1 L∩(In#V).

Тройки In#W → In#V → In#U точны, поскольку тройка W → V → U расщепима. Переходя к расслоенному произведению двух точных троек над третьей (в которую они вкладываются), получаем точную последовательность 0 → M∩(In#W) → L∩(In#V) → K∩(In#U). Поскольку R-контрамодули U и F плоские, согласно лемме 1 имеем K∩(In#U) = In#K. Отсюда видно, что отображение L∩(In#V) → K∩(In#U) сюръективно, так что вся последовательность 0 → M∩(In#W) → L∩(In#V) → K∩(In#U) → 0 точна. Применяя точный справа (и в частности, в среднем члене) производный функтор limn1, мы получаем искомое зануление.

Лемма 3. R-контрамодуль F является проективным объектом в R-contra тогда и только тогда, когда он плоский и Rn-модули F/In#F проективны (достаточно, чтобы последнее условие выполнялось для n=0).

Доказательство: стандартное рассуждение с подъемом идемпотента. (Кажется, здесь мы в первый раз пользуемся условием нильпотентности идеалов-ядер...)

Следствие. Класс очень плоских R-контрамодулей замкнут относительно расширений и ядер сюръективных морфизмов в R-contra. Проективная размерность очень плоского R-контрамодуля (как объекта R-contra) не превосходит единицы.

13.04.2013 0:15 - Update: что-то мне кажется, что в этом постинге нетеровость колец Rn не используется вообще (по крайней мере, до леммы 3). А в следующем -- используется только в форме предположения, что идеалы Im/In ⊂ Rn конечно порождены. Да и коммутативность колец Rn (постольку, поскольку речь идет о плоских, а не очень плоских модулях) в этом постинге (до леммы 3), кажется, тоже не используется...

June 2017

S M T W T F S
     123
4 5678910
11 121314 151617
18 19 2021 22 23 24
2526 27282930 

Syndicate

RSS Atom

Most Popular Tags

Page Summary

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Jul. 26th, 2017 10:46 am
Powered by Dreamwidth Studios