Пусть A и B -- CDG-алгебры над полем k. Всякому левому CDG-модулю M над A и правому CDG-модулю N над B сопоставим CDG-бимодуль M⊗kN над A и B. Эта операция тензорного произведения индуцирует функтор между копроизводными категориями

Dco(A-mod) x Dco(mod-B) → Dco(A-mod-B).

При каких условиях образ этого функтора порождает копроизводную категорию CDG-бимодулей, хотя бы в слабом смысле зануления ортогонала к образу? Заметим, что такое утверждение верно для 1. производных категорий DG-модулей над DG-алгебрами и 2. копроизводных категорий CDG-комодулей над конильпотентными CDG-коалгебрами (где подразумевается порождение с помощью сдвигов-конусов и бесконечных прямых сумм).
Развитие постскриптума к http://posic.livejournal.com/385751.html

Неоднородная квадратичная двойственность -- это антиэквивалентность категорий неоднородных кошулевых алгебр и кошулевых CDG-алгебр. В эту формулировку зашито утверждение теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта для неоднородных деформаций квадратичных кошулевых соотношений.

Можно ли обобщить эту двойственность до "симметричной" двойственности между двумя одинаковыми или похожими категориями -- условно говоря, неоднородных кошулевых CDG-алгебр? Мне кажется, давным-давно (лет 10 назад) этот вопрос мне задавал нынешний юзер [livejournal.com profile] hippie57. Как теперь ясно, ответ на этот вопрос положительный, с поправкой на некоторые тонкости.

Прежде всего, неоднородные кошулевы CDG-алгебры являются образованиями с двумя индексами -- размазанными не по прямой (в смысле целых чисел), а по плоскости (в смысле квадрата целых чисел). Хотя второй индекс может пробегать не Z, а Z/2Z.

Далее, самую обычную неоднородную кошулеву двойственность лучше все-таки формулировать как ковариантную эквивалентность категорий, связывающую неоднородные кошулевы алгебры и кошулевы CDG-коалгебры. Это позволяет избавиться от всех условий конечномерности векторных пространств. Проблема в том, что второй вариант -- соответствие между неоднородными кошулевыми коалгебрами и кошулевыми CDG-алгебрами -- имеет смысл только в предположении, что убывающая фильтрация на коалгебре обрывается, а квадратично двойственная кошулева алгебра, соответственно, имеет конечную гомологическую размерность. Если же условие конечности гомологической размерности не накладывать, то приходится накладывать условие конечномерности компонент. В остальном все работает.

Попросту, неоднородная кошулева CDG-алгебра -- это CDG-алгебра A, снабженная возрастающей фильтрацией F однородными подпространствами, согласованной с умножением и почти согласованной с дифференциалом: требуется, чтобы d(FiA) содержалось в Fi+1A. Элемент кривизны h должен содержаться в F2A, а элементы замены связности (на которые можно подкручивать CDG-структуру) -- в F1A. Присоединенная биградуированная факторалгебра grFA должна быть кошулевой в градуировке n, приходящей из индексов фильтрации F. Тогда на grFA индуцируется структура CDG-алгебры с дифференциалом, повышающим градуировку n на единицу и элементом кривизны в градуировке n=2. По этим данным можно построить двойственную неоднородную кошулеву алгебру B или коалгебру C (не забыв сдвинуть когомологическую градуировку, как полагается при кошулевой двойственности). А исходная неоднородная кошулева CDG-алгебра A определяет CDG-структуру на B или C.
В случае конечномерных алгебр и модулей, теория функтора SemiExt из моего трактата производит на свет в качестве полубесконечных когомологий проконечномерные ("компактные") векторные пространства, поскольку они суть просто двойственные пространства к SemiTor. Теория же полубесконечных когомологий из статьи в Compositio производит в качестве полубесконечных когомологий индконечномерные ("дискретные") векторные пространства, причем всегда не более чем счетномерные. Непонятно, как сравнивать одно с другим.

P.S. Но есть естественное отображение из второго в первое.
М.А. называет полуалгебры "внутренними категориями", а отображения полуалгебр, согласованные с морфизмами подлежащих коалгебр -- "функторами". Наряду с этим, у него есть:

1. "Естественные преобразования" между согласованными отображениями f,g: S/C → T/D суть морфизмы D-D-бикомодулей gCf → T, для которых коммутативна некая диаграмма морфизмов, ведущих из S в T.

2. "Кофункторы" (которые, очевидно, бывают правыми и левыми) из S/C в T/D суть пары, состоящие из морфизма коалгебр D → C и морфизма C-D-бикомодулей S⊗CD → T, для которого коммутативны две диаграммы, связывающие полуединицы и полуумножения в S и в T. (За отсутствием квадратика в HTML, ⊗C обозначает котензорное произведение.)

Смысл сего мне темен и неясен, так что просто отмечаю для памяти.
Пусть X -- множество; рассмотрим коалгебру C над коммутативным кольцом k, являющуюся прямой суммой по X коалгебр k над k. Тогда полуалгебры над C (в которых левое и правое действия k совпадают) суть то же самое, что k-линейные малые категории с множеством объектов X.
Пусть S -- полуалгебра над коалгеброй C над полем k (можно и над кокольцом C над кольцом A). Тогда морфизмы левых C-комодулей C → S образуют алгебру Rr, хотя бы уже потому, что они же суть эндоморфизмы левого S-полумодуля S. Все правые S-полумодули и левые S-полуконтрамодули являются естественным образом модулями над Rr. Эта конструкция двойственна к конструкции кольца, действующего на правых комодулях и левых контрамодулях над данным кокольцом. Аналогично, левые S-полумодули и правые S-полуконтрамодули являются модулями над алгеброй Rl, состоящей из морфизмов правых C-комодулей C → S.

Когда S -- инъективный левый C-комодуль, Rr является к тому же проективной образующей абелевой категории левых S-полуконтрамодулей (это мы и раньше знали).
Пусть R -- одно из колец Z/m, Z, или Q, и L/F -- расширение Галуа полей. Рассмотрим в производной категории DM(F,R) мотивов над F с коэффициентами в R минимальную подкатегорию MT(F,L,R), содержащую мотивы R[K](i) полей K, промежуточных между F и L, с коэффициентами в R, подкрученные на мотивы Тейта R(i), и замкнутую относительно расширений. Из стандартных vanishing conjectures следует, что между объектами MT(F,L,R) нет отрицательных Ext'ов, так что это точная подкатегория в DM(F,A).

Если предполагать эти гипотезы, то основная гипотеза о мотивах Артина-Тейта утверждает, что Ext'ы в точной категории MT(F,L,R) такие же, как Ext'ы между теми же объектами в DM(F,R). Из этого следовало бы, что триангулированная подкатегория, порожденная MT(F,L,R) в DM(F,R), эквивалентна ограниченной производной категории MT(F,L,R). Если не предполагать vanishing, то основную гипотезу можно сформулировать, скажем, как гипотезу разложимости положительных Ext'ов между объектами MT(F,L,R) в категории DM(F,R) в композиции первых Ext'ов между теми же объектами в той же категории, или на эквивалентном языке глупых фильтраций.

Предположим, что расширение L/F конечно (достаточно рассматривать этот случай), и рассмотрим объект S в MT(F,L,R), равный прямой сумме R[K] по всем полям K, промежуточным между F и L (достаточно взять по одному представителю каждой орбиты действия группы Галуа L/F на промежуточных полях). Тогда из основной гипотезы следует, что градуированное кольцо диагональных Ext'ов с компонентами An = ExtDM(F,R)n(S,S(n)) квадратично. В трех случаях:

(1) когда характеристика F конечна и R = Q,
(2) когда char F = p и R = Z/pk,
(3) когда R = Z/m и поле F содержит первообразный корень m-й степени из единицы --

имеется точный критерий: основная гипотеза эквивалентна (в предположении более известных гипотез) тому, что кольцо A кошулево. При этом в целях проверки кошулевости можно заменить компоненту A0 на R (или на прямую сумму R по всем промежуточным полям).

Доводы в пользу основной гипотезы имеют ту же структуру, что и доводы в пользу соответствующей гипотезы для случая мотивов Тейта, т.е., когда L = F. Собственно, это те же доводы, что имеются в случае L = F и R = Q, для которого эта гипотеза была сформулирована в исходной статье Саши Б. Как известно, эти доводы состоят в том, что Ext'ов выше диагонали (где номер Ext'а равен весу) между мотивами Тейта нет, а диагональные Ext'ы образуют алгебру Милнора, которая квадратична. Помимо основной гипотезы, совершенно непонятно, с чего бы этому быть так.

В случае мотивов Артина-Тейта, ситуация чуть сложнее, чем в случае просто мотивов Тейта, и доводы имеют следующий вид.

1. Кажется, нетрудно проверить, что кольцо A порождено своей компонентой A1, и для этого нужно только знать, что алгебры Милнора полей порождены своими первыми компонентами. Важно только, что множество полей, мотивы которых мы рассматриваем, содержит вместе с любыми двумя полями K' и K'' все их композиты над F, т.е. прямые слагаемые тензорного произведения K'⊗FK''.

2. Условие квадратичности A, в противоположность предыдущему, совершенно нетривиально и в случае простого циклического расширения L/F содержит (почти целиком, точнее, в виде импликации "размерность ≥3 следует из размерности 2") утверждение теоремы Гильберта 90 для милноровских K-групп. Точнее, оно, видимо, эквивалентно подходящей форме последней теоремы.

3. Знакомые гипотезы о кошулевости милноровской K-теории по модулю l в простых циклических расширениях степени l влекут кошулевость алгебры A для такого расширения F/L, т.е., основную гипотезу в этой ситуации.

Надо бы добавить к этому списку разбор случаев группы Галуа Z/l2 и (что особенно интересно) Z/l×Z/l (начиная с гораздо лучше понятого случая l = 2).

23.03.2010. Update -- пункт 2 был ошибкой (которую я сделал еще в 90-х, но только теперь вижу, что это ошибка). Условие квадратичности гораздо слабее того, что нужно для теоремы Гильберта 90.

UUpdate: можно попробовать доказать, что если порядок группы Галуа L/F обратим в R, то основная гипотеза для L/F с коэффициентами в R эквивалентна основной гипотезе для L/L (т.е. для мотивов Тейта над L) с коэффициентами в R.
1. Пусть (R,d) -- (ассоциативная, некоммутативная) DG-алгебра над Z/l, вычисляющая когомологии проконечной группы G с постоянными коэффициентами Z/l. Нас интересует градуированная DG-алгебра (A,d), компонента которой во внутренней градуировке n есть подкомплекс канонической фильтрации τ≤nR (определяемый правилами (τ≤nR)m = Rm для m < n, (τ≤nR)n = ker(dn: Rn → Rn+1) и (τ≤nR)m = 0 для m > n). Когда G есть абсолютная группа Галуа поля F, градуированные DG-модули над A есть такие как бы смешанные мотивы Тейта с Z/l-коэффициентами над F (объекты Z/l(n) соответствуют свободным DG-модулям).

2. Пусть (A,d) -- положительно внутренне градуированная DG-алгебра над полем k, снабженная центральным элементом t во внутренней градуировке 1 и когомологической градуировке 0, не делящим нуль в A, являющимся коциклом, но не кограницей. Пусть B = A/(t). Тогда обычная спектральная последовательность для Tor'ов при морфизме (DG-)алгебр A → B вырождается в длинную точную последовательность

TorBi-1(k,k)(1) → TorAi(k,k) → TorBi(k,k) → TorBi-2(k,k)(1),

где гомологическая градуировка i на Tor возникает как разность собственной (положительной) гомологической градуировки и когомологической градуировки, зашитой в A и B. Связывающий гомоморфизм между двумя TorB в этой последовательности есть спаривание с некоторым классом ExtB2(k,k). Это класс оказывается равным нулю, поскольку связывающий гомоморфизм со значениями в компоненте внутренней градуировки 1 в TorB0(k,k)(1) (она же компонента внутренней градуировки ноль в TorB0(k,k)) равен нулю, поскольку эта компонента вкладывается в TorA1(k,k), переходя в одномерное подпространство, натянутое на класс элемента t.

Поэтому TorAi(k,k) = 0 для всех i≠0,1 тогда и только тогда, когда TorBi(k,k) = 0 для всех i≠0. В этом случае TorA1(k,k) является косвободным комодулем над TorA0(k,k) с одной кообразующей, соответствующей единственному с точностью до пропорциональности классу TorA1(k,k) во внутренней градуировке (весе) 1.

3. В левой части этой эквивалентности стоит условие K(π,1)-гипотезы в классической форме в том виде, который она принимает в случае конечных коэффициентов (не равных характеристике). Появление нетривиального Tor1 отражает наличие морфизмов между Z/l(n), или, если угодно, наличие кручения в соответствующем Tor0 с целыми коэффициентами. В правой части (в ситуации, когда F содержит корни l-й степени из 1) стоит условие кошулевости когомологий Галуа.

P.S. А вот в чем должна состоять K(π,1)-гипотеза с целыми коэффициентами? Видимо, там должен быть только Tor0 ненулевым. Это эквивалентно совокупности K(π,1)-гипотез с рациональными и конечными коэффициентами плюс утверждение об отсутствии бесконечно делимого кручения в Tor-1, кажется так.

P.P.S. Хорошо бы еще проверить эквивалентность глупых фильтраций и K(π,1)-гипотезы в вышеприведенной форме в случае Z/l-коэффициентов и поля F без корня l-й степени из единицы.
Как известно, основная аксиома абелевой категории, принадлежащая Гротендику, утверждает, что всякий морфизм разлагается в композицию коядра и ядра, или, эквивалентным (в предположении существования всех ядер и коядер) образом, канонический морфизм из кообраза в образ любого морфизма является изоморфизмом.

У этой аксиомы есть более наглядная ослабленная версия, утверждающая, что всякий биективный морфизм (т.е., морфизм с нулевыми ядром и коядром) является изоморфизмом. В самом деле, в большинстве естественных примеров, когда аддитивная категория с ядрами и коядрами не является абелевой, нарушается эта ослабленная аксиома, в чем обычно легко убедиться. Таковы случаи категорий фильтрованных векторных пространств, топологических векторных пространств, и т.п.

В учебнике Гельфанда-Манина "Методы гомологической алгебры" ошибочно утверждается, что эта ослабленная аксиома эквивалентна полной форме аксиомы Гротендика. Более того, там утверждается, что естественный морфизм из кообраза в образ любого морфизма в аддитивной категории всегда биективен. Эта ошибка сохранилась даже во втором английском издании учебника (2003 года). См. раздел II.5.11, абзац под буквой б) или b. или b). Возможно, если бы нижеследующий контрпример был обнародован тогда же, когда он был придуман (в 1995 году), ошибку бы уже исправили...

Контрпример необычайно прост и прямолинеен. Пусть B -- абелева категория диаграмм векторных простраств V(1) → V(2) → V(3) (композиция может быть ненулевой). В этой абелевой категории шесть неразложимых объектов; обозначим их через E1, E2, E3, E12, E23, E123 (смысл этих обозначений очевиден). Пусть A ⊂ B -- полная аддитивная подкатегория, объекты которой суть прямые суммы всех неразложимых объектов B, кроме E12. Пусть g -- ненулевой морфизм E3 → E123. Тогда CokerBg = E12, CokerAg = E1, и ImAg = E23. В то же время KerAg = KerBg = 0 и CoimAg = CoimBg = E3. Таким образом, морфизм Coim g → Im g есть морфизм E3 → E23; его коядро как в B, так и в A равно Е2 и не равно нулю.

Нетрудно убедиться, что все морфизмы в A имеют ядра и коядра, причем ядра совпадают с ядрами, посчитанными в B, а чтобы построить коядро какого-то морфизма в A, нужно применить к его коядру в B функтор, факторизующий V(2) по пересечению ядра и образа двух проходящих через него морфизмов, а V(1) и V(3) оставляющий неизменными. В частности, морфизм является эпиморфизмом или мономорфизмом в A тогда и только тогда, когда он является таковым в B, так что все биекции в A -- изоморфизмы.
Нашел в ящике стола бумажку года примерно 96-го. Переписываю в компьютер.

Как известно, K2n(Fq) = 0 и K2n-1(Fq) = μqn-1⊗n; очевидно, это означает, что H1(Fq,Z(n)) = μqn-1⊗n при n > 0 и Hs(Fq,Z(n)) = 0 для n≠0, s≠1. Тот же ответ можно получить, посчитав Hs(Fq,Z(n)) через Hs(Fq,Q(n)) и Hs(Fq,Q/Z(n)). Переходя к прямому пределу, получаем K2n-1(Fq) ≅ Q/(Z[q-1]), где Фробениус FrFq действует умножением на qn.

а) Мотивы Тейта над Fq с Z[q-1]-коэффициентами: категория конечно-фильтрованных конечно-порожденных абелевых групп (M,F) с убывающей фильтрацией F, где действие q на (M,F) обратимо, снабженных расщеплением М⊗ZQ = grFM⊗ZQ над Q.

б) Мотивы Тейта над Fq с Z-коэффициентами: категория фильтрованных абелевых групп (M,F), снабженных расщеплением M⊗ZZ(p) = grFM⊗ZZ(p) над локализацией Z(p) кольца Z по простому идеалу pZ, где q = pk.

в) Мотивы Тейта над Fq с Z[q-1]-коэффициентами: категория фильтрованных абелевых групп (M,F) с обратимым действием q на (M,F) вместе с оператором φ: (M,F) → (M,F), таким что его действие на присоединенном факторе grFiφ: grFiM → grFiM есть умножение на qi.

г) Мотивы Тейта над Fq с Z-коэффициентами: категория фильтрованных абелевых групп (M,F) вместе с набором операторов φ(i): FiM → FiM, таких что ограничение φ(i) на FjM есть qj-iφ(j) и действие φ(i) на grFjM есть умножение на qj-i (где j≥i).

(Теперь хорошо бы еще мотивы Артина-Тейта над Fq c целыми коэффициентами в том же духе описать.)
Рассмотрим
а) точную категорию A-плоских левых C-комодулей, где C -- кокольцо над кольцом A, плоское как левый А-модуль;
б) абелеву категорию левых C-комодулей, где C -- кокольцо над кольцом A, плоское как правый A-модуль;
в) точную категорию левых C-комодулей с A-чистыми точными тройками, где C -- кокольцо над кольцом A.

В каждом из этих случаев, имеется соответствующий класс коиндуцированных левых C-комодулей -- в случае а) можно коиндуцировать с плоского левого A-модуля, в случаях б)-в) -- с произвольного. Требуется доказать, что для любого А-проективного левого C-комодуля P и любого коиндуцированного левого C-комодуля C⊗AV группы Extn(P, C⊗AV) в соответствующей точной/абелевой категории C-комодулей тривиальны для n > 0.

Неожиданно деликатно.
I. Triangulirovannyj funktor realizacii i kategoriya fil'trovannyh
ob#ektov so strukturoj na prisoedinennyh faktorah Read more... )

II. Prisoedinennaya graduirovannaya kategoriya Read more... )

1. Konstrukciya kategorii G Read more... )
2. Struktura tochnoj kategorii na G Read more... )
3. Konstrukciya granichnogo otobrazheniya Read more... )
4. Proverka tochnosti dlinnoj posledovatel'nosti Read more... )

III. Diagonal'nye Ext'y

1. Kvadratichnost' diagonal'nyh Ext'ov Read more... )
2. Konstrukciya tochnoj kategorii po diagonal'nym Ext'am Read more... )

IV. Koshulevost' dlya graduirovannoj kategorii Read more... )

1. Konstrukciya suzheniya bazy Read more... )
2. Koshulevost': obschij sluchaj Read more... )
3. Koshulevost': ploskij sluchaj Read more... )

V. Zaklyuchenie i vyvody Read more... )
Пусть (C,d,h) -- CDG-коалгебра над полем k, снабженная конечной убывающей фильтрацией F, C/F1C = k, FtC = 0 для некоторого (достаточно большого) натурального t. Фильтрация F должна быть комультипликативной, дифференциал d должен ее сохранять, и, кажется, нужно, чтобы функционал кривизны h аннулировал F2C. Пусть w: k -> C -- однородное k-линейное сечение коединицы, и пусть Cobw(C) -- соответствующая структура CDG-алгебры на свободной алгебре, порожденной (C/k)[-1]. Рассмотрим неотрицательно градуированную коалгебру grFC в градуировке, индуцированной фильтрацией F; предположим, что эта коалгебра кошулева и обозначим через B квадратично двойственную алгебру. Тогда B можно рассматривать как факторалгебру CobwC; на ней индуцируется структура CDG-алгебры.

Отметим, что алгебра B имеет конечную гомологическую размерность как биградуированная алгебра. Надо как-то проверить, что она имеет конечную гомологическую размерность также и как градуированная алгебра в одной только гомологической градуировке. (Почему кошулевы алгебры конечной гомологической размерности имеют конечную гомологическую размерность как неградуированные алгебры? Можно случай свободной алгебры рассмотреть для начала.)

Утверждается, что копроизводная = контрапроизводная = абсолютная производная категория CDG-модулей над B эквивалентна копроизводной категории CDG-комодулей над C и контрапроизводной категории CDG-контрамодулей над C. Доказательство должно быть такое же, как у теоремы неконильпотентной кошулевой двойственности из нынешней версии статьи (в которую надо бы эвентуально вставить это обобщение).

Более того, можно описать подкатегории компактных объектов с обеих сторон этой эквивалентности. Компактные объекты категории CDG-комодулей над С суть просто конечномерные CDG-комодули (или, может быть, их идемпотентное замыкание); это мы знаем. Представим абсолютную производную категорию B-модулей как гомотопическую категорию CDG-модулей, проективных, если забыть дифференциал. Там внутри есть подкатегория CDG-модулей, проективных и конечно-порожденных, если забыть дифференциал (точнее, опять же лучше взять ее карубиеву оболочку). Очевидно, что эта подкатегория состоит из компактных объектов; с другой стороны, компактным объектам копроизводной категории CDG-комодулей над C отвечают объекты из этой подкатегории CDG-модулей над B. Таким образом, 1. идемпотентные замыкания абсолютной производной категории конечномерных CDG-комодулей и гомотопической категории конечно-порожденных проективных CDG-модулей эквивалентны; и 2. гомотопическая категория конечно-порожденных проективных CDG-модулей порождает гомотопическую категорию всех проективных CDG-модулей с помощью прямых сумм и конусов.

Наряду с DG-алгебрами, для которых полная производная категория совпадает с производной категорией (например, неположительно или очень строго неотрицательно градуированными DG-алгебрами, или кофибрантными DG-алгебрами) описанная выше ситуация находится в ряду первых примеров ситуаций, когда известно, что полная производная категория CDG-алгебры порождается CDG-модулями, конечно-порожденными и проективными как градуированные модули, с помощью прямых сумм и конусов.

P.S. Хорошо бы обобщить конструкцию выше, ослабив условия на d и h -- так чтобы d выбивался из фильтрации F на единичку, а h аннулировал только F3С. Чтобы алгебра B была не градуированной в неотрицательной градуировке, а фильтрованной -- неоднородной кошулевой.
I. Присоединенная градуированная категория
1. Конструкция прис. град. кат-ии [как локализации-факторизации категории бифильтрованных объектов] [а бифильтрованные объекты в терминах фильтрованных объектов суть просто диаграммы U <- V <- U(-1) <- V(-1), такие что последовательность присоединенных факторов расщепимо точна]
2. Структура точной категории на п.г.к. [та же техника расслоенных (ко)произведений, что в предыдущем пункте]
3. Конструкция дифференциала в точной последовательности [ExtG*(gr-,gr-) как левый или правый модуль над ExtF*(-,-) индуцирован с HomG(gr-,gr-) как модуля над HomF(-,-)]
4. Проверка точности этой последовательности [достаточно проверять фрагмент, составленный из Ext0 и Ext1]

II. Кошулевость для градуированной категории
1. Квадратичность диагональных Ext'ов
2. Конструкция точной категории по диагональным Ext'ам
3. Конструкция спуска базы
4. Общий (абсолютный) случай
5. Плоский случай

III. Триангулированный функтор реализации и категории фильтрованных объектов [вспомнить]

IV. Что значит все же эта кошулевость для простого циклического расширения полей? Что значит в этом случае квадратичность, хотя бы? Или порожденность первой компонентой? [В одну сторону, там должна вытекать теорема Гильберта 90 для милноровских K-групп как по модулю l, так и с целыми коэффициентами (хоть эти Гильберты-90 и выглядят по-разному -- потому что для K1 они выглядят по-разному), как мне помнится. В другую сторону, нужно рассмотреть интересующую алгебру как модуль над милноровской алгеброй базового поля по модулю l, так ее кошулевость и будет вытекать из знакомых гипотез.]

См. также http://posic.livejournal.com/359900.html (подзамок)

+ Если E -- точная категория и F -- точная категория фильтрованных объектов из E с точными тройками, расщепимыми на присоединенных факторах по фильтрации, то Ext'ы в F между сдвигами объектов из Е, рассматриваемых как сосредоточенные в каком-то одном куске фильтрации, описываются формулами, как в гипотезе Б.-Л. Другими словами, "большое кольцо" Ext'ов между всеми объектами любой (малой) точной категории кошулево.
Пусть A -- абелева категория, С -- аддитивная категория, и C->A -- аддитивный функтор. (В интересующем нас примере C будет полной подкатегорией в A.) Будем предполагать, что C содержит образы своих идемпотентных эндоморфизмов, и рассматривать C как точную категорию с тривиальной точной структурой. Обозначим через F точную категорию, объекты которой суть тройки (фильтрованный объект A; градуированный объект С; изоморфизм между присоединенным градуированным объектом к первому и образом второго при функторе C->A). Точная структура на F индуцирована точными структурами на C и A; другими словами, короткая последовательность с нулевой композицией точна, если расщепимо точна соответствующая короткая последовательность объектов C.

Наша цель -- построить присоединенную градуированную категорию G к F. Основное свойство точной категории G должно состоять в том, что для любых объектов X и Y из F существует длинная точная последовательность
... -> ExtFn(X,Y(-1)) -> ExtFn(X,Y) -> ExtGn(gr X, gr Y) -> ExtFn+1(X,Y(-1)) -> ...
При этом, конечно, G должна содержать последовательность точных подкатегорий Gi, эквивалентных C, у G должна быть антиэквивалентность, сдвигающая Gi и согласованная со сдвигом на F, между разными Gi не должно быть Hom'ов, а Ext'ы должны идти в одну сторону.

Предлагается следующая конструкция категории G. Рассмотрим категорию, объектами которой являются объекты A с двумя фильтрациями
...⊃ Ui ⊃ Vi ⊃ Ui+1 ⊃ Vi+1 ⊃ ...
снабженные поднятиями факторобъектов Ui/Vi и Vi/Ui+1 до объектов C и точных троек, представляющих собой расширения пар таких соседних факторобъектов, до расщепимых точных троек в C. Из этой категории есть функтор в категорию градуированных объектов в C, сопоставляющий бифильтрованному объекту с поднятиями совокупность поднятий факторобъектов Ui/Vi. Профакторизуем нашу категорию бифильтрованных объектов с поднятиями по идеалу морфизмов, индуцирующих нулевые морфизмы градуированных объектов C, и рассмотрим в факторкатегории класс морфизмов, индуцирующих изоморфизмы градуированных объектов в C. Мне кажется, я умею проверять, что этот класс морфизмов локализующий. Соответствующую локализацию предлагается использовать в роли категории G. Остается еще проверить, что это точная категория, и что имеет место искомая длинная точная последовательность Ext'ов.

Пример, который нас интересует, это, конечно, когда A есть категория модулярных или целочисленных представлений (про)конечной группы, а C есть подкатегория перестановочных представлений. Саша Б. в 1996-97 годах говорил мне, что описанное выше обобщение этого примера (с которым я тогда носился, но ничего не мог сделать) является слишком и невозможно общим, поскольку в примере с перестановочными представлениями важно, что класс представлений замкнут относительно двойственности; может быть, он имел в виду также, что он замкнут относительно тензорных произведений. Теперь мы, может быть, увидим, кто был прав.

Update: не только в интересующем примере, но и вообще нужно требовать, чтобы функтор C->A был вполне строгим. А вот нужно ли требовать, чтобы точная структура на C была тривиальной, это мы еще посмотрим.
А если кого-нибудь, к примеру, интересует, к чему направлена вся эта последняя деятельность про фильтрованную категорию, градуированную категорию, и неплоскую кошулевость, то ответ такой, что конечной целью является K(π,1)-гипотеза для мотивов Артина-Тейта с конечными коэффициентами, см. пункты 1б) и 8а) списка задач (отметим, что пункт 1а) по-прежнему представляется явно неразрешимым).
Ввиду результатов предыдущих двух постингов (которые по-прежнему представляются правильными), вопрос о неплоской кошулевости можно интерпретировать как вопрос о (заведомо плоской по определению) кошулевости над абсолютным базовым кольцом, оно же поле из одного элемента, F1. Последняя идея как раз удачно по духу соответствует идее матричных умножений Масси, бимодули над F1 можно представлять себе как множества матриц.

Исходя из этих соображений, попробуем дать более удачную формулировку ответа из постинга про неплоский комплекс Кошуля. (Хотелось бы еще иметь аналогичную абсолютную бар-конструкцию и дистрибутивность абсолютной решетки.) Прежде всего отметим, что в описанной по ссылке ситуации кольцо диагональных когомологий An=Extn(R,R(n)) всегда квадратично. Наоборот, любое квадратичное кольцо может быть кольцом диагональных Ext'ов в такой категории; при этом можно добиться, чтобы Ext1 и Ext2 вне диагонали отсутствовали. В последнем случае, категория G однозначно восстанавливается по кольцу A, а именно, она есть категория конечно порожденных и проективных над R градуированных комодулей над градуированным кокольцом C над R, квадратично двойственным к A. Поэтому, если предполагать кольцо A квадратичным, то ответы на два вопроса, сформулированные по ссылке, совпадают.

Этот ответ формулируется ниже в терминах некого "матричного комплекса Кошуля" для A. Он не должен зависеть от R=A0, т.е., должен заменяться на эквивалентный при замене R на кольцо целых чисел. Кроме того, он должен быть лево-право симметричен. Условие квадратичности кольца A этот ответ в себя включает как условие "точности" в двух крайних членах "комплекса" (при m=0 и 1; см. далее).

Итак, пусть M1, ..., Mm -- прямоугольные матрицы, составленные из элементов A1, причем линейные размеры этих матриц соответствуют одни другим, так что их можно компоновать в выписанном порядке, т.е. произведения MiMi+1 имеют смысл как матрицы с компонентами из A2. Предположим к тому же, что все эти произведения равны нулю. Пусть N -- прямоугольная матрица, составленная из элементов An, причем линейный размер ее таков, что произведение MmN имеет смысл как матрица с компонентами из An+1; предположим, что и это произведение тоже равно нулю. Тогда должны существовать прямоугольные матрицы Ki с компонентами из R, матрицы M'i с компонентами из A1, матрица P с компонентами из A1, и матрица Q с компонентами из An-1, такие что

M1 = M'1K1, K1M2 = M'2K2, ..., Km-1Mm = M'mKm, KmN = PQ,
и M'iM'i+1 = 0 для всех i, M'mP = 0.
Да, действительно.

Пусть A -- неотрицательно градуированное кольцо, R=A0 -- его нулевая компонента, и S->R -- морфизм колец. Предположим, что все компоненты An с n>0 являются плоскими левыми R-модулями и плоскими левыми S-модулями. Тогда кольцо
A = R ⊕ A1 ⊕ A2 ⊕ A3 ⊕ ...
кошулево тогда и только тогда, когда кольцо
B = S ⊕ A1 ⊕ A2 ⊕ A3 ⊕ ...
кошулево. Мне кажется, что я могу доказать это обычными решеточными методами в рамках того, что изложено в соответствующем начальном разделе книжки про квадратичные алгебры. (Не говоря об обходном категорном аргументе из http://posic.livejournal.com/381980.html .)

А мой научный руководитель А.Б. не верил в это (пятнадцать лет назад)! Впрочем, это-таки теорема, не тавтология. В смысле -- не прямое следствие определений, а утверждение, которое нужно доказывать.

P.S. Вот два примера.
1. Пусть R -- прямая сумма конечного числа копий основного поля k, кольцо A является алгеброй над k, S=k. Тогда из совсем простых решеточных соображений видно, что кошулевость алгебр A и B эквивалентна. Это и есть тот пример, который у меня был 15 лет назад.
2. Просто случайный пример: пусть An=R для всех n, так что A есть кольцо многочленов от одной переменной R[t]. Пусть при этом R -- алгебра над полем k=S. Тогда ясно, что алгебра A кошулева, и очевидное рассуждение с факторизацией по центральному элементу степени 1 показывает, что алгебра B кошулева.

Update: ну, или просто применить S ⊗BL R = (S ⊗BL A) ⊗AL R, как водится (вместо решеток).
Продолжение http://posic.livejournal.com/381885.html

Ответ в постинге по ссылке вряд ли верен, зато я теперь придумал другой. Предлагается дать, наконец, ход старинному наблюдению, что кошулевость неотрицательно градуированной алгебры от ее нулевой компоненты зависит слабо.

Пусть G -- точная категория с подкатегориями Gi, эквивалентными категории конечно-порожденных проективных модулей над кольцом R, снабженная антиэквивалентностью, сдвигающей Gi, морфизмов между объектами из разных Gi в G нет, первые Ext'ы между ними все идут в одну сторону. Тогда из G бьет функтор присоединенного градуированного фактора в категорию конечно-порожденных градуированных проективных R-модулей.

Пусть S->R -- морфизм колец. Рассмотрим следующую странноватую конструкцию. Объектами категории H будем считать тройки (объект X категории G; конечно-порожденный градуированный проективный S-модуль M; изоморфизм R⊗SM ≅ gr X). Тогда имеется забывающий функтор H->G, сюрьективный на объектах. Утверждается, что он биективен на всех Extn при n>0.

Какой ответ дает это утверждение на вопросы по ссылке (в предположении, что можно подобрать такое S, что Extn(R,R(n)) суть проективные с какой-нибудь стороны S-модули), довольно понятно. Отсюда же должно следовать, что если имеется неотрицательно градуированная алгебра A с нулевой компонентой R, являющаяся проективным левым R-модулем, и морфизм колец S->R, такой что R является проективным левым S-модулем, то алгебра B, получающаяся заменой из алгебры A заменой нулевой компоненты с R на S и оставлением всех остальных компонент неизменными, кошулева тогда и только тогда, когда алгебра A кошулева. Если все это верно, конечно.

Update: все же не буквально так, конечно. Функтор биективен на всех Extn при n>1, а также на Ext1 между объектами, градуировочные носители присоединенных факторов которых не пересекаются; в общем же случае он на Ext1 только сюрьективен.
Развитие http://posic.livejournal.com/379662.html

Во-первых, вопрос по ссылке, кажется, не самый удачный из возможных. Самое интересное не то, при каких условиях на Extn(R,R(n)) отсутствие внедиагональных Ext1 и Ext2 влечет отсутствие внедиагональных высших Ext'ов. Самое интересное, что можно сказать о градуированном кольце Extn(R,R(n)) при условии, что внедиагональных Ext'ов нет. Какие градуированные кольца можно так получить? В отличие от вопроса по ссылке, к этому более интересному вопросу не очень понятно, как подступиться. Если тут и могут помочь операции Масси, то только при какой-то более возвышенной точке зрения.

Что касается вопроса по ссылке, то детали надо проверять, но предположительный ответ такой. Во-первых, почему Extn(R,R(m)) порождаются операциями Масси из Ext1? Вот почему: всякий такой Extn есть композиция Extn-1(R,X) и Ext1(X,R(m)), для некоторого объекта X из G. На объекте X есть фильтрация с присоединенными факторами из Gi; с этой фильтрацией связана последовательность классов Ext1 между присоединенными факторами. Вот наш класс Extn и является произведением Масси всех этих классов Ext1 между присоединенными факторами (стоящих посередине), класса Ext1 из того присоединенного фактора, который является подобъектом X, в R(m) (c одного из краев), и класса Extn-1 из R в тот присоединенный фактор, который является факторобъектом X (с другого края).

Если стартовать отсюда и рассуждать по индукции по n и m, то на вид очень похоже, что ответ на вопрос по ссылке будет такой. Нужное условие кошулевости на алгебру диагональных Ext'oв -- это условие точности комплекса Кошуля, построенного как тензорное произведение (над R) алгебры диагональных Ext'ов на квадратично двойственную к ее квадратичной части (которая совпадает с ней самой, если это условие выполнено) квадратичную коалгебру (или, лучше сказать, кокольцо). Здесь определение квадратичного кокольца в неплоском случае не вполне тривиально; его отображение в тензорное кокольцо может не быть вложением. По этому поводу см. старый недописанный текст, раздел 3.2. При таком определении ниоткуда вроде не следует, что левая кошулевость совпадает с правой кошулевостью; для положительного ответа на наш вопрос достаточно любого одного из этих двух свойств. [Вряд ли это правильный ответ, см. последующие постинги.]

А еще, например, кошулевость неотрицательно градуированной алгебры A с нулевой компонентой R можно определить условием зануления TorA(R,R) вне диагонали. Это условие лево-право симметрично, но не видно, чтобы оно было эквивалентно тому, что выше. Обычное доказательство с минимальными резольвентами не проходит, кажется.

June 2017

S M T W T F S
     123
4 5678910
11 121314 151617
18 19 2021 22 23 24
2526 27282930 

Syndicate

RSS Atom

Most Popular Tags

Page Summary

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Jul. 26th, 2017 10:47 am
Powered by Dreamwidth Studios