Let R be a commutative ring and S be a finitely presented commutative R-algebra. For that matter, let F be a finitely presented S-module.

Assume that F is a flat R-module. Then F is a very flat R-module.
Let R be a commutative Noetherian ring and S a finitely generated commutative R-algebra. Assume that S is a flat R-module. Then S is a very flat R-module.

It seems that we now know how to prove this more than three year old conjecture of mine, though the argument is rather involved.
According to Enochs-Estrada, quasi-coherent sheaves on a scheme are representations of a certain quiver with relations (otherwise known as additive functors from a fixed preadditive category into abelian groups, or modules over a big ring) satisfying the additional "quasi-coherence" condition.

What is this quasi-coherence condition? What is its place among the general concepts of homological algebra known to the contemporary algebraists? It is the condition of left Ext^{0,1}-perpendicularity to a certain set of objects of injective dimension 1, as in the paper of Geigle and Lenzing. The quasi-coherent sheaves are the left perpendicular class to a set of objects of injective dimension 1 in the category of modules over a big ring.

According to yours truly, contraherent cosheaves on a scheme are representations of a certain quiver with relations ( = modules over a certain big ring) satisfying the additional "contraherence" and "contraadjustness" conditions. What are these contraherence and contraadjustness conditions?

These are the conditions of right perpendicularity to a certain set of objects of projective dimension 2. The contraherent cosheaves are the right Ext^{0,1,2}-perpendicular class to a set of objects of projective dimension 2 in the category of modules over a big ring.

That is why the quasi-coherent sheaves are an abelian category, while the contraherent cosheaves are an exact category. The left/right perpendicular class to a set/class of objects of injective/projective dimension 1 in an abelian category is an abelian category (as Geigle and Lenzing already observed), while the Ext^*-perpendicular class to a set/class of objects of homological dimension more than 1 in an abelian category is an exact category (since it is a full subcategory closed under extensions).
I think that, from many points of view, contramodules are much better understood than comodules nowadays. "A contramodule category" is a locally presentable abelian category with a projective generator; this is a very reasonable definition that works well in a number of contexts.

What "a comodule category" is? Is it just a Grothendieck abelian category? A locally presentable abelian category with an injective cogenerator? A hereditary torsion class (localizing Serre subcategory) in the category of modules over an associative ring? A left perpendicular subcategory in the category of modules over an associative ring (in one or another sense of the word)? How are these classes of abelian categories related to one another?

Take a locally presentable abelian category B, an object M in B, the full subcategory Prod(M) of all direct summands of set-indexed products of copies of M in B. Then there exists a unique abelian category A with enough injective objects such that the full subcategory of injective objects in A is equivalent to the full subcategory Prod(M) in B. What can one say about the category A? Does it belong to any of the above-mentioned classes of abelian categories?

Knowing more about contramodules than I know about comodules is in some sense a good indicator of having mastered the subject. Is it?
Следующие результаты можно при случае включить в мой последний архивный препринт, 1705.04960.

Пусть R -- коммутативное кольцо, I ⊂ R -- конечно-порожденный идеал, R^ = limn R/In -- I-адическое пополнение кольца R, рассматриваемое как топологическое кольцо в топологии проективного предела (= I-адической топологии R-модуля R^). Пусть Λ = ΛI обозначает функтор I-адического пополнения M &rar; limn M/InM на категории R-модулей, Δ = ΔI -- функтор, сопряженный слева к вложению полной подкатегории I-контрамодульных R-модулей в R-mod.

Тогда:

1. Нулевой левый производный функтор L0Λ не точного ни слева, ни справа функтора Λ -- он же точный справа функтор R-mod → R-mod, совпадающий с функтором Λ на полной подкатегории проективных модулей в R-mod -- является сопряженным слева функтором к вполне строгому забывающему функтору R^-contra → R-mod.

2. Полная подкатегория I-контрамодульных R-модулей R-modI-ctra ⊂ R-mod есть в точности минимальная полная подкатегория в R-mod, содержащая образ вполне строгого забывающего функтора R^-contra → R-mod и замкнутая относительно расширений. В самом деле, всякий I-контрамодульный R-модуль является расширением двух R^-контрамодулей, как следует из вычисления ядра сюръективного морфизма Δ(M) → Λ(M) в разделе 7 препринта 1605.03934.

2а. Таким образом, свободный R^-контрамодуль с одной образующей R^ является 1-хорошей проективной образующей локально представимой абелевой категории R^-contra тогда и только тогда, когда вполне строгий функтор R^-contra → R^-modR^I-ctra является эквивалентностью категорий. В частности, если взять за кольцо R с идеалом I контрпример из раздела 2 работы 1503.05523, то R^-контрамодуль R^ будет 0-хорошей, но не 1-хорошей проективной образующей категории R^-contra.
Пусть А1 ← A2 ← A3 ← … -- проективная система абелевых групп. Первый (и единственный, кроме исходного функтора) производный функтор проективного предела limn1 An проективной системы (An) можно посчитать как коядро гомоморфизма

1−shift: ∏n=1 An → ∏n=1 An.

Ядром того же гомоморфизма является собственно проективный предел limn An.

Достаточным условием зануления производного функтора limn1 An является следующее условие Миттаг-Леффлера: если для любого m ≥ 1 убывающая последовательность подгрупп im pm,n: An → Am, n ≥ m, стабилизируется при n → ∞, то limn1 An = 0.

Является ли это условие необходимым для зануления группы limn1 An ? Нет, не является. Достаточно заметить, что производный функтор проективного предела, как и сам функтор проективного предела, коммутирует с операцией бесконечного произведения проективных систем абелевых групп.

Подобрав последовательность проективных систем абелевых групп, каждая из которых удовлетворяет условию Миттаг-Леффлера, но моменты стабилизации подгрупп-образов в каждой следующей проективной системе наступают позже, чем в предыдущей, и взяв прямое произведение такой бесконечной последовательности проективных систем, можно получить проективную систему абелевых групп, в которой стабилизация подгрупп-образов отображений проекции не наступает никогда, а производный функтор проективного предела этой проективной системы равен нулю, тем не менее.

Можно ли превратить условие Миттаг-Леффлера в необходимое и достаточное? Можно.

Теорема. Пусть A1 ← A2 ← A3 ← … -- проективная система абелевых групп. Рассмотрим бесконечную прямую сумму счетного числа копий проективной системы (An) и обозначим эту проективную систему через (Bn) = ⊕ω (An). Тогда следующие три условия эквивалентны:

- проективная система (An) удовлетворяет условию Миттаг-Леффлера;
- проективная система (Bn) удовлетворяет условию Миттаг-Леффлера;
- limn1 Bn = 0.

Кто-нибудь из читающих эти строки встречал такой результат где-нибудь?

P.S. Спросил на MathOverflow: https://mathoverflow.net/questions/270762/the-mittag-leffler-condition-as-necessary-and-sufficient
Весной 1999 года появились два варианта определения того, что тогда называлось производными категориями второго рода. К тому времени, когда (весной 2009 года) появился мой препринт на эту тему, они стали называться копроизводными и контрапроизводными категориями.

В 2000-02 годах была сформулирована философия полубесконечной гомологической алгебры: следует рассматривать структуры, являющиеся коалгебрами по половине переменных и алгебрами по другой половине; модульные объекты над такими структурами могут быть комодулями или контрамодулями над переменными коалгебры, будучи в любом случае модулями над переменными алгебры. У таких модулей следует рассматривать полупроизводные категории -- копроизводные или контрапроизводные в том направлении, в котором имеются комодули или контрамодули, и обычные производные в том направлении, в котором модули.

Где-то, кажется, в начале 2009 года я задался вопросом, как следует относиться к геометрическим объектам: следует ли считать пучки на многообразии модулями или комодулями, рассматривать для них обычную производную или копроизводную категорию? Через несколько месяцев размышлений на эту тему, мне захотелось иметь определение того, что тогда называлось "контракогерентными пучками" (чтобы для них контрапроизводную категорию рассматривать). Весной 2012 года, когда, после ряда неудачных попыток, это определение у меня, наконец, появилось, они стали называться "контрагерентными копучками".

Немало времени ушло на преодоление психологического барьера между контрамодулями над коалгебрами над полями -- геометрически соответствующими инд-нульмерным схемам -- и контрамодулями над геометрическими объектами положительной размерности. Осознание (в начале весны 2012 года) того, что теория контрамодулей над адическим пополнением нетерова коммутативного кольца почти не зависит от того, является ли идеал, по которому производится пополнение, максимальным или произвольным, помогло мне преодолеть этот рубеж.

Где-то с весны 2009 года постепенно начало выясняться, что в контексте комодульно-контрамодульного соответствия можно рассматривать и ко- или контрапроизводные категории модулей, и, наоборот, обычные производные категории комодулей и контрамодулей. Вершиной этого развития стала сформулированная весной 2015 года философия дуализирующих и дедуализирующих комплексов.

Летом 2016 года стало понятно, что производные категории первого рода ("обычные") и второго рода (ко- и контрапроизводные) образуют не дихотомию с возможностью надстраивать одно над другим, а что-то вроде непрерывного спектра -- появилось то, что в моем мартовском, 2017 года, препринте стало называться псевдо-копроизводными и псевдо-контрапроизводными категориями. С новой точки зрения, сама постановка вопроса о том, должен ли считаться тот или иной геометрический объект "алгеброй" или "коалгеброй", занимавшая столь важное место в моих размышлениях 2009-15 годов, лишается своего значения.

Что дальше? Я не знаю, что дальше. Пока что можно сказать, что если в 1999-2009 годах я занимался, условно, теорией представлений, а в 2009-15 -- алгебраической геометрией, то начиная со второй половины 2015 и, особенно, с 2016 года, я переместился в чистую алгебру. При этом, разумеется, все это время, как и всю жизнь вообще, я работаю, в каком-то смысле, над одним и тем же; просто это "одно и то же" по-разному пересекает общепринятые границы областей -- границы того, чем занимаются другие люди.
Сегодня мне кажется, что, может быть, можно доказать такую теорему:

Пусть B -- категория моделей аддитивной κ-арной алгебраической теории (т.е., категория модулей над аддитивной κ-достижимой монадой T на категории множеств), и пусть P -- ее каноническая проективная образующая (cвободный T-модуль с одной образующей). Выберем множество X достаточно большой мощности (такой, что кардинал, следующий за мощностью X, не меньше κ), обозначим через Q прямую сумму X копий объекта P в категории B (свободный T-модуль с X образующими), и обозначим через S кольцо HomB(Q,Q)op.

Тогда функтор Ψ = HomB(Q,−) отождествляет B с полной подкатегорией в категории левых S-модулей, обладающей следующими свойствами:

1. Функтор вложения Ψ: B → S-mod -- (вполне строгий), точный и имеет левый сопряженный функтор Δ: S-mod → B;

2. Полная подкатегория Ψ(B) ⊂ S-mod замкнута относительно (не только ядер, коядер и бесконечных произведений, но также и) расширений;

3. Триангулированный функтор Ψ: D(B) → D(S-mod), индуцированный точным функтором вложения Ψ: B → S-mod, является вполне строгим;

4. Для каждого множества Y рассмотрим инъективный морфизм левых S-модулей S(Y) → HomB(Q,Q(Y)), где прямая сумма Y копий слева берется в категории левых S-модулей, а справа -- в категории B. Обозначим через LY коядро этого морфизма. Тогда полная подкатегория Ψ(B) ⊂ S-mod состоит в точности из всех таких левых S-модулей С, для которых HomS(LY,C) = 0 = ExtS1(LY,C) для всех множеств Y -- или, что оказывается в данном случае эквивалентным, из всех таких левых S-модулей C, для которых ExtSn(LY,C) = 0 для всех множеств Y и всех n ≥ 0.

Пункт 1 мы знали и раньше, пункт 2 выводится из пункта 3, и пункт 4 выводится из пункта 2. Идея доказательства пункта 3 состоит в том, что функтор Δ переводит проективные S-модули в "λ-плоские S-модули" (λ-фильтрованные индуктивные пределы проективных S-модулей с меньше, чем λ образующими, где λ -- следующий кардинал после мощности множества X), а короткие точные последовательности λ-плоских S-модулей -- в короткие точные последовательности.

Для этого доказательства необходимо развить теорию λ-плоских модулей над кольцом, где λ -- регулярный кардинал. В частности, как минимум, такая теория должна доказывать, что ядро сюръективного морфизма λ-плоских модулей является λ-плоским модулем (также, расширение, и т.д.) Далее, важно, что функтор Δ сохраняет точность "λ-чистых" (λ-фильтрованных индуктивных пределов расщепимых) точных троек, и в частности, таких точных троек, в которых фактормодуль λ-плоский.
0. Пусть R -- ассоциативное кольцо, R^ -- полное, отделимое топологическое ассоциативное кольцо, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля, и пусть R → R^ -- гомоморфизм ассоциативных колец.

1. Пусть R-mod -- абелева категория всех левых R-модулей, B ⊂ R-mod -- рефлективная полная подкатегория, замкнутая относительно коядер в R-mod (так что, в частности, B -- абелева категория с бесконечными произведениями, и ее вложение B → R-mod -- точный функтор, сохраняющий бесконечные произведения).

Пусть Δ: R-mod → B -- рефлектор (т.е., функтор, сопряженный слева к вложению). Предположим, что функтор Δ переводит свободные R-модули R[X] в подлежащие R-модули свободных R^-контрамодулей ("модули убывающих функций") R^[[X]], причем морфизм сопряжения R[X] → R^[[X]] совпадает с отображением, индуцированным гомоморфизмом колец R → R^.

Тогда забывающий функтор R^-contra → R-mod -- вполне строгий, и он отождествляет категорию левых R^-контрамодулей R^-contra с полной подкатегорией B ⊂ R-mod.

2. Обратно, если забывающий функтор R^-contra → R-mod -- вполне строгий и B ⊂ R-mod -- его образ, то B -- рефлективная полная подкатегория, замкнутая относительно коядер в R-mod, и рефлектор Δ: R-mod → B переводит R[X] в R^[[X]] с морфизмом сопряжения R[X] → R^[[X]], индуцированным гомоморфизмом колец R → R^.

3. Выводя за скобки полную подкатегорию B, можно сформулировать такой совсем очевидный критерий: функтор R^-contra → R-mod вполне строгий тогда и только тогда, когда для любого левого R-контрамодуля P и любого множества X естественное вложение P^X = HomR^(R^[[X]],P) → HomR(R^[[X]],P) является биекцией, или, что все равно, естественное отображение HomR(R^[[X]],P) → HomR(R[X],P) = P^X является биекцией.

4. Обратно, если функтор R^-contra → R-mod вполне строгий, то левый R-модуль P является левым R^-контрамодулем (принадлежит образу этого функтора) тогда и только тогда, когда для любого множества X естественное отображение HomR(R^[[X]],P) → HomR(R[X],P) = P^X является биекцией.

Ранее на ту же тему -- http://posic.livejournal.com/1549985.html , http://posic.livejournal.com/1347266.html
Оказывается, я -- типа, крупнейший специалист по коалгебрам -- не читал классической работы Такеучи 1977 года. В результате я не только не сослался на нее, рассуждая о теории Мориты для коколец и полуалгебр в своей книжке по полубесконечной гомологической алгебре, но и написал весной 2015 года раздел про коалгебры в статье про MGM-двойственность в Морита-неинвариантной форме. Потом этот раздел превратился в отдельную статью и был подан в журнал, где теперь рассматривается, так и оставшись в таком неинвариантном виде.

Может, оно где-то и к лучшему (я рассуждаю там про ко-нетеровы коалгебры и т.д., а в инвариантном виде они назывались бы квази-ко-нетеровы, ну и аргументы все были бы на соответстсвующую дельту сложнее). Я понимал, конечно, что оно неинвариантно, и, кажется, именно терминологическая неловкость меня отчасти удерживала от того, чтобы писать об этом в такой большей общности -- ну, и в целом в обстановке весны 2015 года времени шлифовать детали не было. Но все же оно меня мучило, и в итоге последней осенью в Праге я придумал использовать в этом месте приставку "квази". Теперь, уже в нынешней работе, стал об этом писать -- ну, и добрался, наконец, до статьи Такеучи.

Выясняется, что комодули, которые я вознамерился называть "квази-конечно копорожденными", Такеучи назвал когда-то просто "квази-конечными", и весь мир с тех пор так и говорит. Получается, что я, после долгих усилий, самостоятельно переоткрыл классическую терминологию (в утяжеленном виде, как водится). При этом про "теорию Мориты-Такеучи" написана чертова прорва (более или менее эпигонских и малосодержательных, надо полагать, в большинстве своем) работ, это известный сюжет, и только я один остаюсь чукча-не-читатель, привычно варящийся в собственном соку и переоткрывающий все для себя сам.
В принципе, есть три вида деятельности.

Можно писать чего-нибудь стремящееся к максимальной естественной общности в том или ином направлении. То есть, тяжелое и техническое. Это то, чем я сейчас занимаюсь. Надежда при этом состоит в том, что удастся проломить какую-нибудь стенку, за которой откроется новое понимание.

Можно писать чего-нибудь автопопуляризационное. Это то, чем я в значительной степени занимался последние два года. Надежда при этом состоит в том, что это откроет дорогу новым читателям в мир моих идей.

Можно выступать с докладами, ездить по миру и беседовать с людьми. Это то, чем я тоже занимался последние два года, и в этом году продолжаю и собираюсь дальше.

Вот, в принципе, этими тремя видами деятельности можно поочередно в каких-то там пропорциях заниматься.

***

Это было в плане жанра. В плане предмета изучения -- что вообще есть в гомологической алгебре? В порядке возрастания модности-популярности:

1. контрамодули и ко-контра соответствие
2. кошулева двойственность
3. циклические гомологии, комплекс де Рама и т.д.

Тема 1 как бы специфически моя. Тема 2 как бы в немалой степени моя, но далеко не только. Темы 3 как бы почти совсем не мои.

Есть еще 4. матричные факторизации, например, но про них я уже написал достаточно, больше не хочу. Про когомологии Галуа я, вроде бы, тоже уже все написал, что хотел.

С осени 2011-весны 2012 годов я пишу почти исключительно на тему номер 1. Когда руки дойдут до этого, можно написать чего-нибудь автопопуляризационненького на темы 2 и 3.
Название: The contra version of the category O

Аннотация: The semicoderived category of the category O over the Virasoro or Kac-Moody Lie algebra is equivalent to the semicontraderived category of the contra version of the category O with the complementary or shifted central charge. In this paper we show that the forgetful functor from the contra version of the category O into the category of modules over the Lie algebra is fully faithful. Similarly, the forgetful functor from the category of contramodules over the topological Lie algebra into the category of modules over the underlying discrete Lie algebra is fully faithful for Lie algebras such as the Virasoro and Kac-Moody. These assertions extend the line of known results claiming that the forgetful functors from contramodules to modules are fully faithful under certain assumptions.
It turns out that subcoproduct injections in a nonpointed category do not have to be monomorphisms. E.g., in the category of commutative rings, the natural morphism from Z to the coproduct ( = tensor product) of Z and Z/2 is not a monomorphism.
- Ты обещал объяснить, что такое рай и ад, и не объяснил.
- Сейчас расскажу. Ад и рай -- это точки сгущения на абсолюте.
- Что такое "абсолют"?
- Я был сегодня на семинаре по математике, так что сейчас будет математическая метафора. Где в математике обычно используется термин "абсолют"?
- ... Геометрия Лобачевского!
- Точно. Скажем, земной мир -- это у нас что такое?
- Трехмерное пространство Лобачевского?
- Да. То есть, что это?
- Верхнее полупространство в R3.
- Ага. А абсолют его -- это что такое?
- Горизонтальная плоскость с добавленной точной на бесконечности. Комплексная сфера Римана, CP1.
- Замечательно. Теперь, что у нас происходит на сфере Римана?
- Что у нас на ней происходит?
- На ней имеется аналитическая функция.
- Комплексно-аналитическая?
- Мероморфная.
- Мероморфная всюду на сфере Римана?
- Знаешь, давай я скажу так: пусть у нас будет функция одной комплексной переменной, мероморфная на всей сфере Римана, кроме двух точек -- нуля и бесконечности. В нуле у нас будет "ад", а в бесконечности -- "рай".
- А в единице?
- А в единице у нас будет сидеть "мистическое зеркало". Центр инверсии.
- Так-так. А что происходит с этой функцией в нуле, единице, и бесконечности?
- Ну, скажем, в точке "единица" она принимает значение "ноль". А в точках "ноль" и "бесконечность" у нее -- существенные особенности.
- Ужасно интересно. И что же это за функция такая?
- Что же это может быть за функция такая?
- Что же это может быть за функция такая?
- Заметь, что мы забыли про переменную "время". У нас земной мир получается трехмерным пространством, но "на самом деле" -- это ведь четырехмерное пространство-время.
- Да? А время -- это отдельная переменная? Или она вплетена в пространство как-то, неотделима от него?
- Знаешь, а я не знаю. Я думаю, когда я умру, там мне на том свете расскажут про время. Пока что мы просто скажем, что наша мероморфная функция зависит от времени, но мы не понимаем, как. Поэтому...
- Поэтому?
- Поэтому это не может быть какая-то конкретная мероморфная функция.
- А что же это?
- Это какая-то абстрактная мероморфная на сфере Римана вне точек "ноль" и "бесконечность" функция, принимающая в точке "единица" значение "ноль". Неизвестная какая-то функция из этого класса.
- Ужасно интересно и совершенно непонятно. Что же такое рай и ад?
- Сейчас объясню.
Из введения к работе про псевды, по следам доклада в Антверпене:

Значится, имеются четыре кубика "чистых типов", которые можно смешивать, а точнее, ставить один на другой. Какие-то там комбинации запрещены -- из двенадцати способов поставить два разных кубика один на другой, запрещены, как минимум, четыре. Еще пять комбинаций рассмотрены в моих работах (одна из них возникает в двух разных ситуациях). Остальные три комбинации не рассматривались.

Если рассматривать просто неупорядоченные пары "чистых типов" (безотносительно того, какой "поверх" какого), то оказывается, что в моих текстах встречаются четыре комбинации из шести возможных. Из двух оставшихся -- одна, наверное, кажется недостаточно интересной, а другая -- слишком сложной.
Теорема 1. Пусть R -- полное, отделимое топологическое кольцо со счетной базой окрестностей нуля, состоящей из открытых правых идеалов. Допустим, что R имеет также базу окрестностей нуля, состоящую из конечно-порожденных открытых левых идеалов (конечно-порожденных в сильном смысле: любое сходящееся к нулю семейство элементов в таком идеале должно быть линейной комбинацией сходящихся к нулю семейств элементов кольца с коэффициентами -- образующими идеала). Тогда забывающий функтор из категории левых R-контрамодулей в категорию левых R-модулей -- вполне строгий.

Доказательство: В самом деле, достаточно показать, что всякий гомоморфизм левых R-модулей R[[X]] → P, где P -- левый R-контрамодуль, является морфизмом левых R-контрамодулей. Для этого достаточно проверить, что всякий гомоморфизм левых R-модулей R[[X]] → P, отображающий элементы из X в нулевые элементы в P, равен нулю. Пусть f: R[[X]] → P -- такой гомоморфизм R-модулей. Без потери общности мы можем предполагать, что R-контрамодуль P порожден элементами, лежащими в образе f (иначе можно заменить P на соответствующий подконтрамодуль).

Пусть I -- конечно-порожденный в сильном смысле левый идеал в кольце R. Тогда для любого левого R-контрамодуля Q образ I×Q отображения контрадействия I[[Q]] → Q совпадает с подмодулем IQ ⊂ Q. В частности, имеем I[[X]] = I×R[[X]] = I R[[X]] и I×P = IP. Теперь индуцированное отображение f/I: R[[X]]/IR[[X]] → P/IP равно нулю, так как левый R-модуль R[[X]]/I[[X]] = R/I[X] порожден элементами из X. Поскольку R-контрамодуль P порожден f(R[[X]]) и I×P = IP -- R-подконтрамодуль в P, отсюда следует, что P = IP.

Мы показали, что P = I×P для некоторого счетного множества левых идеалов I ⊂ R, образующих базу окрестностей нуля в R. Согласно контрамодульной лемме Накаямы (1512.08119, лемма 6.14), отсюда следует, что P = 0.

Теорема 2. Пусть R -- ассоциативное кольцо с двусторонним идеалом I. Рассмотрим присоединенное градуированное кольцо grIR и пополнение RI^ кольца R по I-адической фильтрации. Предположим, что идеал grII ⊂ grIR порожден конечным числом центральных элементов (градуировки 1). Тогда забывающий функтор RI^-contra → R-mod вполне строгий.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 и использует тот факт, что идеалы InI^ в кольце RI^, рассматриваемые как левые идеалы, порождены в сильном смысле конечными множествами элементов, приходящих из кольца R, а на фактормодули (факторкольца) по этим идеалам кольцо R сюръективно отображается. Соответствующий обобщенный вариант теоремы 1 прямо влечет теорему 2.

Теорема 3. (а) Пусть k -- коммутативное кольцо и k{{x1,…,xm}} -- алгебра некоммутативных многочленов от конечного набора переменных с коэффициентами в k, снабженная гомоморфизмом аугментации k{{x1,…,xm}} → k. Пусть R -- факторалгебра алгебры k{{x1,…xm}} по двустороннему идеалу, содержащемуся в идеале аугментации, I -- ядро гомоморфизма аугментации R → k, и RI^ -- пополнение R в I-адической топологии. Тогда забывающий функтор RI^-contra &rarr R-mod вполне строгий.

(б) Пусть k -- коммутативное кольцо и k<< x1,…,xm >> -- топологическая алгебра формальных степенных рядов от конечного набора переменных с коэффициентами в k. Пусть R -- факторалгебра алгебры k<< x1,…,xm >> по замкнутому двустороннему идеалу, снабженная индуцированной топологией. Тогда забывающий функтор R-contra → R-mod вполне строгий.

(в) Пусть C -- конильпотентная коалгебра над полем k, такая что пространство первых когомологий H1(C) = H1(C,k) конечномерно. Тогда забывающий функтор C-contra → C*-mod вполне строгий.
Пусть A -- абелева категория Гротендика, и G -- ее образующий объект. Теорема Габриэля-Попеску утверждает, что фунтор HomA(G,−): A → S-mod, где S = HomA(G,G)op, является вполне строгим и допускает левый сопряженный функтор ("рефлектор"), который является точным функтором. Таким образом, категория A может быть представлена как локализация S-mod по серровской подкатегории, замкнутой относительно бесконечных прямых сумм. Обратно, любая такая локализация категории модулей над кольцом является абелевой категорией Гротендика.

Пусть T: Set → Set -- монада на категории множеств, являющаяся κ-достижимым функтором (т.е., функтором, сохраняющим κ-фильтрованные копределы) для некоторого регулярного кардинала κ. Предположим, что монада T аддитивна, т.е., категория T-модулей/T-алгебр является аддитивной (или, что эквивалентно, абелевой) категорией. Категории вида B = T-mod ("категории моделей аддитивных κ-арных алгебраических теорий") образуют наиболее общий естественный класс абелевых категорий "контрамодульного типа".

Объект T(X) ∈ B называется свободным объектом категории B, порожденным множеством X. Для любого непустого множества X, объект T(X) является проективной образующей категории B. Обратно, кополная абелева категория B с проективной образующей P является категорией модулей над аддитивной монадой X → HomB(P, P(X)) на категории множеств. Такая категория B является категорией моделей аддитивной κ-арной алгебраической теорией тогда и только тогда, когда объект P "абстрактно κ-мал", т.е., всякий морфизм P → P(X) факторизуется через копроизведение копий P, индексированное некоторым подмножеством в X мощности, меньшей κ.

Пусть T: Set → Set -- монада, связанная с κ-арной аддитивной алгебраической теорией, и пусть B -- абелева категория модулей над T. Выберем какое-нибудь множество Z мощности, больше либо равной κ. Положим P = T(Z) и S = HomB(P,P)op. Тогда, как нетрудно видеть, функтор HomB(P,−): B → S-mod -- вполне строгий. Кроме того, этот функтор точен и допускает левый сопряженный функтор ("рефлектор"). Таким образом, категория B может быть представлена как рефлективная полная подкатегория в S-mod с точным функтором вложения, или, другими словами, полная подкатегория в S-mod, замкнутая относительно ядер и коядер морфизмов, а также бесконечных произведений, и рефлективная.

Обратно, пусть S -- ассоциативное кольцо и B -- рефлективная полная подкатегория в S-mod, замкнутая относительно ядер и коядер. Тогда B -- кополная абелева категория с проективной образующей (которую можно построить, применив функтор-рефлектор к S-модулю S). Следовательно, если B локально представима (или достижимо вложена в S-mod, т.е., замкнута относительно κ-фильтрованных копределов в S-mod для некоторого регулярного кардинала κ), то B -- категория моделей κ-арной аддитивной алгебраической теории (ср. [Adamek-Rosicky, Corollary 2.48]).

В предположении принципа Вопенки, полная подкатегория в S-mod замкнута относительно пределов тогда и только тогда, когда она рефлективна, и всякая такая полная подкатегория локально представима [AR, Theorem 6.22 and Corollary 6.24]. Таким образом, категории моделей аддитивных κ-арных алгебраических теорий B суть в точности абелевы рефлективные полные подкатегории в категориях модулей над кольцами S-mod с точными функторами вложения B → S-mod.

P.S. Другими словами, эти утверждения можно сформулировать так. Пусть K -- локально представимая абелева категория и G -- какой-нибудь ее образующий объект. Положим S = HomK(G,G)op. Тогда, согласно [AR, Theorem 1.66], функтор HomK(S,−): K → S-mod имеет левый сопряженный функтор F.

Категория K является категорией Гротендика тогда и только тогда, когда для некоторого, или, что эквивалентно, для любого образующего объекта G ∈ K функтор HomK(G,−) вполне строгий, а функтор F точный. Категория K является категорией моделей некоторой κ-арной алгебраической теории тогда и только тогда, когда для некоторого выбора образующего объекта G ∈ K функтор HomK(G,−) вполне строгий и точный.
В разделе 1 главы 7 книжки "Quadratic Algebras" сформулированы три гипотезы про ряды Гильберта кошулевых алгебр. В частности, гипотеза 2 утверждает, что если ряд Гильберта кошулевой алгебры A является многочленом степени d, то размерность компоненты A1 не меньше d.

В свежей работе Июду и Шкарина http://preprints.ihes.fr/2016/M/M-16-16.pdf классифицированы ряды Гильберта квадратичных алгебр с 3 образующими и 3 соотношениями. В частности, рядов Гильберта кошулевых алгебр с размерностями компонент dim A1 = dim A2 = 3, не являющихся рядами Гильберта квадратичных мономиальных алгебр, имеются две штуки (см. там Theorem 1.1 и Proposition 4.2):

1 + 3t+ 3t2 + 2t3 + t4 = (1+2t+t2+t3)(1+t)

и

1 + 3t+ 3t2 + 2t3 + t4 + t5 + … = (1+2t−t3−t4)/(1−t).

Первый из этих двух рядов, реализующийся, как утверждают авторы, для кошулевой алгебры с соотношениями

x2−yx = xy = y2 = yz = zx = z2 = 0,

является контрпримером к моей гипотезе 2.
Продолжение постинга http://posic.livejournal.com/1294642.html

Пусть C -- коассоциативное, коунитальное кокольцо над ассоциативным кольцом A, являющееся проективным левым A-модулем. Рассмотрим три категории:

(i) категория правых C-комодулей comod-C;
(ii) категория дискретных правых модулей discr-R над топологическим ассоциативным кольцом R = HomC(C,C)op (кольцо эндоморфизмов левого C-комодуля C с топологией, описанной в постинге http://posic.livejournal.com/1287429.html и далее по ссылкам);
(iii) категория Rex(C-contra) всех функторов из категории левых C-контрамодулей С-contra в категорию абелевых групп Ab, сохраняющих копределы.

Утверждается, что три категории (i)-(iii) естественным образом эквивалентны. Естественные функторы между ними образуют круговую диаграмму:

(i) → (ii): чтобы определить структуру правого R-модуля на правом C-комодуле N, нужно использовать изоморфизм N □C C = N. Ввиду этого изоморфизма, ясно, что эндоморфизмы левого C-комодуля C действуют слева на N. Поскольку образ каждого элемента из N в N □C C ⊂ N ⊗A C выражается в виде тензора, в который входит только конечное число элементов из C, это действие дискретно.

(ii) → (iii): категория C-contra отождествляется с категорией R-contra, как по ссылке (достаточно отождествить категории проективных объектов, для чего достаточно отождествить монады на категории множеств), после чего дискретному правому R-контрамодулю N сопоставляется функтор контратензорного произведения левых R-контрамодулей с ним N ⊙R −.

(iii) → (i): пусть F: C-contra → Ab -- функтор, сохраняющий копределы. Тогда F(HomC(C,C)) ⊗A C = F(HomC(C, C⊗AC)), поскольку ко-контра соответствие HomC(C,−) переводит прямые суммы копроективных C-комодулей в прямые суммы проективных C-контрамодулей. Теперь морфизм коумножения C → С ⊗A C индуцирует искомое отображение C-кодействия N → N ⊗A C на правом A-модуле N = F(HomC(C,C)).

Пусть теперь S -- полуассоциативная, полуунитальная полуалгебра над кокольцом C, являющаяся копроективным левым C-комодулем. Тогда аналогичные три категории тоже эквивалентны между собой:

(i) категория правых S-полумодулей simod-S;
(ii) категория дискретных правых модулей discr-R над топологическим ассоциативным кольцом R = HomS(S,S)op (кольцо эндоморфизмов левого S-полумодуля S с топологией, описанной по ссылке выше);
(iii) категория Rex(S-sicntr) всех функторов из категории левых S-полуконтрамодулей S-sicntr в категорию абелевых групп, сохраняющих копределы.

Круговая диаграмма функторов между ними строится так же, как выше; выпишем подробнее только первую и третью (самую интересную) конструкцию:

(i) → (ii): чтобы определить структуру правого R-модуля на правом S-полумодуле N, нужно использовать изоморфизм N ◊S S = N. Ввиду этого изоморфизма, ясно, что эндоморфизмы левого S-полумодуля S действуют слева на N.

Чтобы убедиться, что это действие дискретно, достаточно заметить, что (эндоморфизмы левого S-полумодуля определяются своими ограничениями на C, а) действие эндоморфизма S на конкретном элементе n из N определяется его действием на образах при отображении полуединицы в S тех элементов из C, которые входят в какое-нибудь выражение для тензора в N ⊗A C, являющегося образом элемента n при отображении правого C-кодействия.

(iii) → (i): пусть G: S-sicntr → Ab -- функтор, сохраняющий копределы. Компонуя ко-контра/полуко-полуконтра соответствие с функтором индуцирования полупроективных левых S-полумодулей с копроективных левых C-комодулей, получаем функтор из категории проективных левых C-контрамодулей в категорию проективных левых S-полуконтрамодулей, сохраняющий бесконечные прямые суммы и переводящий HomC(C,C) в HomS(S,S). Функтор этот можно однозначно продолжить до сохраняющего копределы функтора C-contra → S-sicntr. Компонуя полученный функтор с функтором G, получаем сохраняющий копределы функтор F: C-contra → Ab и связанный с ним правый C-комодуль N.

Теперь абелева группа/правый A-модуль N = G(HomS(S,S)) = F(HomC(C,C)) оказывается правым C-комодулем. Далее, имеем G(HomS(S,S)) □C S = G(HomS(S, S□CS)), поскольку полуко-полуконтра соответствие HomS(S,−) переводит прямые суммы полупроективных S-полумодулей в прямые суммы проективных S-полуконтрамодулей. Наконец, морфизм полуумножения S □C S → S индуцирует искомое отображение S-полудействия N □C S → N.
(нисколько не предусматривавшаяся еще в тот момент, когда я писал его начало) является, между прочим, лучшей иллюстрацией к вопросу, почему я пишу сейчас (про контрамодули) столько статей вместо того, чтобы написать одну толстую книгу.

Тут дело даже не в том, что две книжного размера рукописи про контрамодули у меня уже есть, причем одна из них уже почти пятнадцать месяцев лежит в редакции без всякого движения. И не в том, что есть еще и обзор, который даже нигде не лежит, кроме Архива, поскольку в двух редакциях его уже отвергли, а в какую третью его послать, я даже и не знаю. И даже не в том, что я написал уже толстую книгу про полубесконечную гомологическую алгебру, и не вижу, чтобы ее особенно читали.

Дело просто в том, что написать толстую монографию значит сформулировать основания и философию предмета, причем не только в общих чертах, а в деталях. Основания же у всякой теории появляются тогда, когда она в очень значительной степени уже разработана. Книжка по полубесконечной гомологической алгебре стала итогом нескольких десятилетий предшествующего развития. В результате, по крайней мере, за шесть лет, прошедших со дня передачи в издательство готовой рукописи, текст не устарел, не ощущается мною, как устаревший. Обзор по контрамодулям, с другой стороны, устарел меньше чем за год со дня обнародования.

Вот и концовка предыдущего постинга показывает: основания предмета плывут. Продолжают плыть. Не в том смысле, что-то неверно, но в том, что точка зрения сдвигается, уточняется. Требуют дальнейшей проработки основания. Рано еще итоговую монографию-то писать.

Это не говоря о том, что область науки, целиком состоящая из работ одного-единственного автора -- странная все же штука. Нельзя так. Должен быть некоторый круг специалистов, вовлеченных в это дело и понимающих, что там происходит. Не сводящийся к одному человеку.

June 2017

S M T W T F S
     123
4 5678910
11 121314 151617
18 19 2021 22 23 24
2526 27282930 

Syndicate

RSS Atom

Most Popular Tags

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Sep. 24th, 2017 12:20 pm
Powered by Dreamwidth Studios