составляют совершенную гремучую смесь. В формуле

(-1)|c(1)| c(1)a ⊗ c(2) = (-1)|c(1)| c(1) ⊗ ac(2),

где a -- нечетный оператор, сокращать знаковые множители, абсолютно одинаковые на вид слева и справа, ни в коем случае нельзя. Иначе смысл формулы поменяется на противоположный и вы будете битый час искать ошибку в ваших вычислениях.

Вообще обозначения Свидлера уродливы и дики, и все же они оказываются несопоставимо лучше любых приходящих в голову альтернатив. На изобретение современных обозначений для сложения и умножения ушли века; сколько-то времени понадобится, чтобы придумать хорошие обозначения для коумножения?
Обсуждался ли где-нибудь в литературе вопрос о том, какие стандартные результаты теории колец обобщаются на градуированный случай? Пока что я тут смотрю, и получается, что классическая теория (радикал Джекобсона, артиновы и нетеровы кольца, полупростые кольца) обобщается один в один -- может быть даже, на случай колец, градуированных произвольной некоммутативной группой. Надо просто всюду заменять слово "элемент" на "однородный элемент" или "однородный элемент степени 0" и т.п., по контексту. По существу это не вполне тривиально -- например, есть понятие градуированного поля -- градуированного кольца, у которого все ненулевые однородные элементы обратимы. Кольцо k[x,x-1] многочленов Лорана от одной переменной, помещенной в ненулевую целую градуировку, является примером градуированного поля.
Попробую, разнообразия ради, написать что-то математическое так, чтобы это было понятно не только мне.

CDG-кольцо -- это градуированное кольцо с нечетным дифференцированием d степени 1 и элементом h степени 2, таким что d2(x) = [h,x] для любого x из кольца и d(h)=0. CDG-модуль над CDG-кольцом -- это градуированный модуль с дифференцированием, согласованным с дифференцированием кольца, таким что d2(x) = hx для любого x из модуля -- это если модуль левый, для правого модуля формула имеет вид d2(x) = -xh. Таким образом, на CDG-кольце нет естественной структуры CDG-модуля над самим собой, но есть естественная структура CDG-бимодуля, в очевидном смысле.

CDG-модули образуют DG-категорию: на морфизмах CDG-модулей, суперкоммутирующих с действием кольца, но не обязательно согласованных с дифференциалами, есть структура комплекса. Если DG-модули представляют собой типичный пример DG-категории, снабженной забывающим функтором в категорию комплексов, то CDG-модули -- типичный пример DG-категории, на которой такой забывающий функтор не задан.

Пусть M -- многообразие (гладкое или аффинное алгебраическое), E -- расслоение на M, и ∇ -- глобальная связность на E. Тогда на алгебре Ω дифференциальных форм на М c коэффициентами в расслоении эндоморфизмов End(E) возникает структура CDG-алгебры: дифференцирование d есть де Рамовский дифференциал, задаваемый связностью на End(E), индуцированной связностью на Е, элемент h -- кривизна связности ∇. CDG-модули над CDG-алгеброй Ω тесно связаны (относительной кошулевой двойственностью) с модулями над кольцом дифференциальных операторов, действующих на сечениях E.

Так все это хорошо, но образующими дифференциальных операторов являются векторные поля, и связь между векторными полями и дифференциальными формами подразумевает дуализацию (переход к двойственному конечно-порожденному проективному модулю) над базовым кольцом сечений расслоения End(E). Опыт работы с кошулевой двойственностью показывает, что перехода к двойственному векторному пространству следует избегать. Технически правильным объектом является CDG-коалгебра, а не CDG-алгебра. Но прямо в лоб дуализировать CDG-алгебру де Рама не получится. Конечно, можно перейти к двойственному модулю над кольцом сечений End(E) и рассмотреть кокольцо поливекторных полей (с коэффициентами в эндоморфизмах) над кольцом эндоморфизмов. Но дерамовский дифференциал нелинеен над функциями, и на поливекторных полях никакого дифференциала нет.

Задача состоит, таким образом, в том, чтобы дерамовский дифференциал линеаризовать -- перейти от CDG-алгебры де Рама к какому-то объекту, полноценно линейному над кольцом функций или эндоморфизмов расслоения. Для этого применяется следующая конструкция, сопоставляющая CDG-кольцу ацикличное DG-кольцо. Ацикличное здесь значит -- совсем ацикличное, с нулевым кольцом когомологий (т.е., где единица равна нулю).

Пусть (B,d,h) -- CDG-кольцо. Представим дифференцирование d в виде коммутатора с новой образующей -- присоединим к B элемент δ с соотношениями [δ,x] = d(x) для x из B и δ2 = h. Обозначим полученное кольцо через B~. На кольце B~ есть новое нечетное дифференцирование ∂ = ∂/∂δ, определяемое условиями ∂(δ) = 1 и ∂(B) = 0. CDG-кольцо B с точностью до CDG-изоморфизмов (соответствующих заменам связности ∇) восстанавливается по DG-кольцу B~; в частности, само кольцо B восстанавливается, как ядро=образ ∂. Эта конструкция решает нашу задачу: применив ее к CDG-алгебре Ω, мы получим DG-алгебру Ω~ с дифференциалом, линейным над кольцом эндоморфизмов; на кокольце над эндоморфизмами, двойственном к Ω~, будет кодифференцирование, двойственное к ∂. Более того, рассматривая Ω~ вместо Ω, мы избавляемся от необходимости выбирать связность.

Если пользоваться этой конструкцией, то с CDG-модулями над (B,d,h) надо работать в терминах B~. В принципе, это вполне возможно: в частности, CDG-модуль над (В,d,h) есть градуированный модуль без дифференциала над B~ (дифференциальные B~-модули соответствуют стягиваемым CDG-модулям над (B,d,h)). Комплекс морфизмов между CDG-модулями состоит из отображений, суперкоммутирующих с ядром ∂, содержащимся в B~, отображения же, суперкоммутирующие со всем B~, суть замкнутые морфизмы. На практике все это получается сильно контринтуитивно и в конце концов увязает в странных технических трудностях.

Вот новая идея, ради которой написан этот постинг: конструкцию DG-алгебры B~ можно проитерировать, перейдя к DG-алгебре B~~. Тогда категория CDG-модулей над B оказывается эквивалентной категории DG-модулей над ацикличной DG-алгеброй B~~. То есть эта странная конструкция, сопоставляющая CDG-алгебре ацикличную DG-алгебру (казалось бы, представитель гораздо более узкого класса объектов), на уровне DG-категорий (C)DG-модулей ведет себя как инволюция. Эта инволюция переставляет категорию (C)DG-модулей над (C)DG-алгеброй и замкнутых морфизмов и замкнутых морфизмов между ними с категорией градуированных модулей над градуированной алгеброй, подлежащей (C)DG-алгебре.

В общности DG-категорий, эта конструкция выглядит так: DG-категории D сопоставляется DG-категория D~. Объекты D~ суть объекты D, снабженные стягивающей гомотопией t, равной нулю в квадрате. Морфизмы между объектами D~ суть замкнутые морфизмы между объектами D, не обязательно коммутирующие с гомотопиями t; коммутатор с t определяет дифференциал на морфизмах в D~. Если в DG-категории D есть сдвиги и (конечные) прямые суммы объектов, то в DG-категории D~ есть не только сдвиги и (конечные) прямые суммы, но и конуса (более того в DG-категории D~ всегда существуют произвольные скручивания объектов с помощью эндоморфизмов, удовлетворяющих уравнению Маурера-Картана). Если в DG-категории D существуют произвольные скручивания на эндоморфизмы Маурера-Картана, а категория Z0D замкнутых морфизмов в D содержит образы идемпотентных эндоморфизмов, то DG-категория D~~ эквивалентна исходной DG-категории D. Эта почти инволюция на DG-категориях приблизительно переставляет местами категории замкнутых морфизмов и "градуированных объектов без дифференциалов".

На уровне гомотопических категорий эта DG-категорная почти инволюция не действует. Например, DG-категории комплексов векторных пространств она сопоставляет некоторую DG-категорию, в которой все объекты стягиваемы (а той -- обратно DG-категорию векторных пространств, как следует из сказанного выше).
В предыдущих двух постингах на эту тему -- http://posic.livejournal.com/267121.html и http://posic.livejournal.com/266292.html -- обнаружились существенные ошибки; я не буду их удалять или редактировать, но уберу под кат, с нынешним предостережением, что воспринимать их буквально нельзя. Идея там, конечно, правильная, но определение категорий D## и D### неправильное. Дело в том, что если B -- CDG-кольцо и M -- градуированный модуль (без дифференциала) над B, то CDG-модуль над B, свободно порожденный M, рассмотренный как градуированный модуль (без дифференциала) над B, вовсе не является прямой суммой M и сдвига M, как я думал. Там возникает нетривиальное расширение, которое тривиализуется в случае, когда M допускает структуру CDG-модуля над B.

Задача, которую призвано решать определение категории D##, проста: восстановить категорию градуированных модулей над B по категории CDG-модулей над B. Правильное определение вот какое: пусть D -- DG-категория с конусами и сдвигами. Тогда объекты D## суть объекты D, снабженные стягивающей гомотопией, равной нулю в квадрате. Морфизмы в D## суть замкнутые морфизмы в D, коммутирующие с заданными стягивающими гомотопиями. Функтор Z^0D -> D##, определенный правилом X -> cone(id_X)[-1], естественным образом факторизуется через естественный функтор D -> D#; получающийся функтор D# -> D## вполне строгий. Функторы D## -> Z^0D, сопряженные к функтору Z^0D -> D## слева и справа, задаются формулами G^+: (X,t) -> X и G^-: (X,t) -> X[1], соответственно, где t -- наша стягивающая гомотопия. Все функторы выше сохраняют бесконечные прямые суммы и произведения.

Read more... )

Далее, если в точной категории D## достаточно много инъективных объектов и ее гомологическая размерность (как точной категории) конечна, то (1) полная подкатегория в H^0D, состоящая из D##-инъективных объектов, эквивалентна копроизводной категории D, и (2) толстая подкатегория коацикличных объектов в H^0D совпадает с триангулированной подкатегорией объектов, которые можно получить из сверток Z^0D-точных троек объектов D с помощью конусов (другими словами, последняя замкнута относительно бесконечных прямых сумм).

Можно ли доказать утверждение (2), не пользуясь предположением о существовании инъективных объектов в D##, а только конечностью гомологической размерности последней?
В известном, вполне определенном смысле все коалгебры (над полями) нетеровы (класс инъективных комодулей замкнут относительно бесконечных прямых сумм). Можно ли сформулировать, в каком смысле все они также артиновы? (Класс проективных контрамодулей замкнут относительно прямых произведений, разумеется, но аналогичное свойство колец еще не влечет артиновости, хотя следует из нее.)
Есть DG-категории, есть точные категории, а есть еще точные DG-категории. На самом деле, точные DG-категории нужны для того, чтобы сопоставлять им производные категории второго рода, и доказывать обычные свойства этих производных категорий в максимальной общности.

Ошибочный текст )
Will be Has been made publicly accessible after some time passes passed.

Dear Tony and Sasha,

I am writing to you as people who pointed my attention to the question
of the proper definition of curved (weak) A_\infty-algebras and their
(exotic) derived categories. This is to let you know about the recent
developments, which haven't been quite definitely verified yet, but
look correct and potentially relevant.

A short summary: curved A_\infty-coalgebras are better than curved
A_\infty-algebras in a number of respects. (But applicability to
any particular problems outside of the abstract Koszul duality
theory have not been considered, as always.)

Read more... )
Получается так:
1. Производную категорию CA-алгебры можно определить как ко/контрапроизводную категорию соответствующей косвободной CDG-коалгебры и это будет обобщение понятия производной категории A-алгебры, не имеющее отношения к понятиям ко- и контрапроизводной категории CDG-алгебры.
2. Ко/контрапроизводную категорию CA-коалгебры можно определить как ко/контрапроизводную категорию соответствующей свободной CDG-алгебры и это будет обобщение понятия ко/контрапроизводной категории CDG-коалгебры, не имеющее отношения к понятиям производных категорий A-комодулей и A-контрамодулей над A-коалгеброй.
Ну хорошо, для модулей над кольцом надо рассматривать производную категорию, для комодулей над коалгеброй -- копроизводную. (Единственное важное исключение -- для CDG-модулей над CDG-кольцом, которое как градуированное кольцо имеет конечную гомологическую размерность, например свободно, копроизводная категория имеет известный смысл.)

Это все понятно. Но какие неограниченные/дифференциальные производные категории следует рассматривать для пучков?

Доказательство Спалтенштейна существования "K-инъективных" резольвент для комплексов пучков довольно запутанное; я несколько раз безуспешно пытался в нем разобраться. Может быть, где-то у Неемана все это лучше изложено? Трудность, конечно, в том, что прямое произведение пучков -- не точный функтор; в этом сходство пучков с комодулями. "K-плоские" комплексы пучков построить нетрудно, в то же время.

Размышления на эту тему странны, поскольку нет конкретной задачи; но можно было бы для начала перечитать перечисленных авторов, и особенно вот эту статью Хинича -- http://arxiv.org/abs/math/0310116

P.S. Чему равна гомологическая размерность абелевой категории пучков абелевых групп на топологическом пространстве, кстати?
1. Если в утверждении не рассматриваются производные категории первого рода для алгебры/коалгебры, а только производные категории второго рода, то алгебра/коалгебра должна быть с кривизной.
2. Если в утверждении не используется конильпотентность коалгебры, то не должна использоваться и коаугментация.
Верно ли, что для любой кофибрантной DG-алгебры (неаугментированной, с единицей) производная категория DG-модулей совпадает с копроизводной = контрапроизводной категорией DG-модулей? (Обратное неверно, конечно.)

Update: Доказательство могло бы выглядеть примерно так. Пусть A -- свободная (если забыть дифференциал) DG-алгебра с фильтрацией на пространстве образующих, какую полагается иметь "элементарной" кофибрантной DG-алгебре. Пусть C+ -- пространство образующих A, тогда на C+ есть структура слабой A-коалгебры (без единицы), в определенном смысле конильпотентной. Пусть С = k ⊕ C+ -- соответствующая коаугментированная слабая A-коалгебра. Пусть M -- DG-модуль над A. Тогда нужно показать, что

1. На тензорном произведении A⊗C⊗M есть структура свободного (если забыть дифференциал) DG-модуля над A, причем когда M ацикличен, A⊗C⊗M коацикличен и, следовательно, даже стягиваем. Здесь надо использовать конильпонетность C (т.е., фильтрацию на С = образующих A), профильтровав A⊗C⊗M фильтрацией, индуцированной фильтрацией на С.

2. Для любого DG-модуля M над A имеется естественный морфизм DG-модулей A⊗C⊗M → M с коацикличным конусом. Тут надо использовать разложение в прямую сумму С = k ⊕ C+, представив явно искомый конус как тотальный DG-модуль точной тройки DG-модулей или что-то близкое к тому.

Особый интерес представляет п.2, который, предположительно, должен допускать обобщение на случай CDG-алгебры A и некоаугментированной CDG-коалгебры (если не слабой A-коалгебры) C. Это был бы ключевой шаг доказательства эквивалентности копроизводных = контрапроизводных категорий, связанных с некоаугментированной CDG-коалгеброй С и ее кобар-конструкцией -- неаугментированной свободной (если забыть дифференциал) CDG-алгеброй A.
Предположительная мораль отсюда -- http://posic.livejournal.com/253271.html -- состоит в том, что если уж возникает необходимость рассматривать слабые A-структуры (в фукаевских делах они возникают, что ли?), то пусть это будут лучше слабые A-коалгебры, чем слабые A-алгебры. Для слабых A-коалгебр хоть и возникает условие сходимости (последовательность высших коумножений на любом элементе должна зануляться начиная с какого-то момента), но зато понятие слабого A-морфизма имеет смысл.
1. Понятие топологического алгеброида Ли над топологической коммутативной алгеброй вроде бы есть, но какие из них должны считаться тейтовскими, неведомо. Да и ассоциативная полубесконечная теория не работает для трехэтажных башен типа "полуалгебра над коалгеброй над топологической алгеброй", которые бы здесь возникали.
2. Понятие тейтовского модуля над обыкновенным кольцом есть, даже и не обязательно нетеровым. (Нельзя ли распространить это дело с про-аффинных схем проконечного типа на инд-про-аффинные схемы инд-про-конечного типа?) Предположительно, можно было бы определить и тейтовские алгеброиды Ли. Но ассоциативная полубесконечная теория все равно работает только для базовых колец конечной гомологической размерности. Единственные примеры последних, которые приходят в голову, соответствуют гладким конечномерным нетеровым аффинным схемам. Но для таких векторные поля являются конечно-порожденным модулем над кольцом функций, так что, с точностью до конечно-порожденного модуля, такой тейтовский алгеброид Ли сводился бы к тейтовской алгебре Ли над кольцом.
3. На тейтовские алгебры Ли над коммутативными нетеровыми кольцами конечной гомологической размерности теорию, может быть, и можно обобщить, хотя не факт. Только хлопот будет много, а радости -- не так уж.
Здесь и в предыдущем постинге речь идет о двух "неправильных" дифференциальных производных функторах. Правильные функторы суть TorI и CotorII, определение которых не представляет никакой трудности, а хорошие свойства очевидны.

Более того, понятно, что при необходимости иметь дело с функтором Cotor первого рода или функтором Tor второго рода лучше всего просто перейти к провекторным пространствам или проабелевым группам, после чего роли алгебр и коалгебр меняются местами. Для того, чтобы это работало, может быть нужно наложить условия на градуировки (не всякая градуированная алгебра является градуированной алгеброй в категории провекторных пространств -- градуировка должна быть ограничена сверху или снизу), но эти условия как раз выполнены в классических примерах (спектральная последовательность Эйленберга-Мура) и упоминаются в классических работах.

Тем не менее, для полноты картины можно рассмотреть и "неправильные" TorII и CotorI; первый определен по ссылке выше, а определение второго следует ниже. Заодно обсуждается понятие A-коалгебры. Read more... )
Пусть B=(B,d,h) -- CDG-кольцо, N и M -- правый и левый CDG-модули над B. Тогда группы TorII,Bn(N,M) определяются следующим образом. Выбирается резольвента N <- F_0 <- F_1 <- ... CDG-модуля N, состоящая из CDG-модулей F_i, являющихся плоскими градуированными модулями над градуированной алгеброй B (если забыть дифференциалы). Резольвента должна быть точной как комплекс CDG-модулей (или, что все равно, как комплекс градуированных модулей). После этого строится бикомплекс F_i⊗BM и рассматривается его тотальный комплекс, образованный с помощью взятия прямых произведений вдоль диагоналей (в то время как тензорное произведение CDG-модулей, понятно, подразумевает взятие прямых сумм вдоль диагоналей). Гомологии этого комплекса и есть искомые группы TorII. Они не зависят от выбора резольвенты F; кроме того, если разрешать CDG-модуль M вместо N, или сразу оба CDG-модуля, получаются такие же гомологии.

Смысл этой конструкции в общем случае вполне загадочен. Разумеется, TorII аннулирует CDG-модули, получающиеся как тотальные CDG-модули точных троек CDG-модулей, но большего вроде бы не скажешь. Ни с прямыми суммами, ни с прямыми произведениями CDG-модулей функтор TorII, похоже, не согласован. В случае, когда кольцо B имеет конечную слабую гомологическую размерность, можно ограничиться конечными резольвентами F и обойтись без бесконечных произведений. В этом случае, TorII,B сохраняет бесконечные прямые суммы и совпадает с естественным образом определенным производным функтором тензорного произведения на декартовом произведении копроизводных=контрапроизводных категорий левых и правых CDG-модулей над B. В случае, когда кольцо B и модули N, M одновременно ограничены сверху или снизу по гомологическим градуировкам, тензорное произведение уже не подразумевает взятия бесконечных прямых сумм и TorII сохраняет бесконечные произведения. Видимо, в этом случае его можно естественно интерпретировать как некий производный функтор для CDG-модулей над CDG-алгеброй в категории про-абелевых групп.
На производной категории DG-модулей над произвольным DG-кольцом A есть совершенно каноническая t-структура. Подкатегория D^{<=0} есть минимальная подкатегория D, содержащая DG-модули A[i] для i>=0 и замкнутая относительно расширений и бесконечных прямых сумм. А подкатегория D^{>=0} состоит из всех DG-модулей, не имеющих когомологий в отрицательных степенях. Это можно было бы назвать "проективной t-структурой".

Это понятно, но я тут было решил, что у этой t-структуры есть двойственный вариант, "инъективная t-структура". Хотелось бы определить D^{<=0} как подкатегорию всех DG-модулей, не имеющих когомологий в положительных степенях, а D^{>=0} как минимальную подкатегорию D, содержащую DG-модули Hom_Z(A,Q/Z)[i] для i<=0 и замкнутую относительно расширений и бесконечных произведений. Увы, доказать что эти D^{<=0} и D^{>=1} порождают D с помощью расширений, не получается. Мешает неточность функтора счетного проективного предела. Получается только разложить произвольный объект X из D в треугольник с объектами из D^{<=0} и D^{>=0} слева и справа от X, чего, надо полагать, недостаточно. Опять ошибка.
Этот результат -- http://posic.livejournal.com/196141.html -- мне воспроизвести теперь не удалось, как я ни старался. Видать, ошибка вышла.

Вот, зато, другой. (Идея нижеследующего почерпнута у Краузе.) У Неемана где-то должно доказываться, что точный функтор из компактно порожденной триангулированной категории в другую триангулированную категорию имеет правый/левый сопряженный тогда и только тогда, когда он сохраняет бесконечные прямые суммы/произведения. Кроме того, функтор локазации по толстой подкатегории сохраняет прямые суммы/произведения, если эта подкатегория замкнута относительно прямых сумм/произведений, вроде бы есть такой факт. Пусть теперь C -- DG-коалгебра; рассмотрим функтор Hot(C-comod_inj) -> D(C-comod). Он сохраняет прямые суммы, так как Acycl(C-comod) и Hot(C-comod_inj) замкнуты относительно прямых сумм; а категория Ноt(C-comod_inj) = D^co(C-comod) компактно порождена, по крайней мере, если кополупростая часть C живет в градуировке 0 и дифференциал зануляется на ней (рассмотреть каноническую возрастающую фильтрацию на C-комодулях). Так что этот функтор имеет правый сопряженный функтор. Функтор вложения Hot(C-comod_inj) -> Hot(C-comod) сопряжен справа к функтору локализации Hot(C-comod) -> D^co(C-comod), так что композиция D(C-comod) -> Hot(C-comod_inj) -> Hot(C-comod) сопряжена к композиции Hot(C-comod) -> D^co(C-comod) -> D(C-comod). Короче, подкатегория Acycl(C-comod) в Hot(C-comod) имеет правый ортогонал, образующий вместе с ней полуортогональное разложение. Аналогичное утверждение имеет место для DG-контрамодулей, поскольку Hot(C-contra_proj) = Hot(C-comod_inj) тоже компактно порождена.

Никакого явного описания этих дополнительных подкатегорий отсюда не получается, однако. Кроме того, хотелось бы ослабить условие, что кополупростая часть C живет в градуировке 0 и дифференциал зануляется на ней, хотя бы до условия, что дифференциал сохраняет кополупростую часть C.

Update: копроизводная категория CDG-комодулей над любой CDG-коалгеброй компактно порождена; никаких дополнительных условий не нужно. Достаточно посмотреть на категорию CDG-комодулей над C и замкнутых морфизмов между ними как на категорию градуированных комодулей над (квази-дифференциальной) коалгеброй C~; тогда каноническая возрастающая фильтрация на C~-комодулях распиливает произвольный CDG-комодуль на CDG-комодули, являющиеся прямыми суммами конечномерных.

Ср. http://posic.livejournal.com/222799.html
Известный вопрос, как связаны тейтовские когомологии с копроизводными категориями, обсуждается в статье Краузе про "стабильные производные категории" (arxiv:math/0403526), на которую я вышел по наводке Д.О. Разумеется, Краузе не знает никаких копроизводных категорий (написать ему про них, что ли...), а обсуждает просто гомотопическую категорию бесконечных в обе стороны комплексов инъективных объектов. Зато он знает много теорем существования сопряженных функторов в компактно порожденных триангулированных категориях.

Приблизительно известно, что тейтовские когомологии живут на триангулированной категории, измеряющей разницу между ко/контрапроизводной категорией и производной категорией. Чтобы получалась хорошая теория, нужно накладывать дополнительные условия. Обычно требуют, чтобы абелева категория была фробениусова (проективные объекты совпадали с инъективными); Краузе объясняет, приблизительно говоря, что можно вместо этого требовать только горенштейновости (чтобы объекты конечной проективной размерности совпадали с объектами конечной инъективной размерности). С другой стороны, можно было бы заменить абелеву категорию на точную.
Ограниченная производная категория когерентных (локально по многообразию конечно порожденных) D-модулей на гладком аффинном многообразии эквивалентна карубиевому (полуабелевому) замыканию факторкатегории гомотопической категории когерентных DG-модулей над DG-алгеброй де Рама по толстой подкатегории, порожденной тотальными комплексами точных троек DG-модулей. Аналогично для модулей над дифференциальными операторами, действующими в расслоении, и CDG-модулей над CDG-алгеброй де Рама.

Ключевое наблюдение здесь состоит в том, что факторкатегория гомотопической категории когерентных CDG-модулей над CDG-алгеброй де Рама по тотальным комплексам точных троек вкладывается в копроизводную категорию CDG-модулей. Это следует просто из того, что всякий коацикличный CDG-модуль является объединением CDG-модулей, получающихся конечно-итерированными конусами из тотальных комплексов точных троек. Аналогично, факторкатегория гомотопической категории конечномерных CDG-комодулей над CDG-коалгеброй над полем по тотальным комплексам точных троек конечномерных CDG-комодулей вкладывается в копроизводную категорию произвольных CDG-комодулей.

Можно ли не брать карубиево замыкание? Это вопрос более-менее о том, чему равно K_0 кольца дифференциальных операторов на спектре локального кольца (гладкой точки алгебраического многообразия). Можно ли не предполагать аффинности многообразия? Это вопрос более-менее о том, как устроены локально проективные или локально свободные D-модули.

Update: первоначальную формулировку пришлось уточнить. К сожалению, я ничего не знаю о локально проективных D-модулях.

June 2017

S M T W T F S
     123
4 5678910
11 121314 151617
18 19 2021 22 23 24
2526 27282930 

Syndicate

RSS Atom

Most Popular Tags

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Jul. 26th, 2017 10:46 am
Powered by Dreamwidth Studios