Вот, как бы, сейчас я занимаюсь тем же, чем три года назад (гипотезу тогдашнюю доказываю, например). А три года назад занимался тем же, чем шесть лет назад, и т.д. Цепочка возвращается к 1990 году, когда я начал думать про алгебры с квадратичными соотношениями.

Однако, где некоммутативные квадратичные базисы Гребнера, и где очень плоские модули над коммутативными кольцами? Есть ли в рамках гомологической алгебры (или, скажем, теории колец) два сюжета, более удаленные один от другого?

Квадратичные алгебры -> неоднородная квадратичная двойственность -> производная кошулева двойственность, производные категории второго рода -> кокольца и комодули, полубесконечная гомологическая алгебра -> контрамодули, теории кокручения -> контрагерентные копучки -> очень плоские модули.

По транзитивности, это, значит, все одно и то же.
http://pleer.net/tracks/14448872IYnC
http://blackalpinist.com/scherbakov/htmtexts/2017/uzhenera.html

Уже не раз, говоря о том же, о чём сегодня,
старался я говорить доступно в целом и внятно
о том, что выбора нет, ход маятника предсказан.
И сколько ни тормози преступно или халатно,
а маятник должен, буквально обязан –
обратно.

Об этом я говорил и выглядел неуместно,
как выскочка-грубиян в собрании утончённом,
который знай говорит, а публика знай моргает.
У них весёлый фуршет, а этот чудак весь в чёрном.
И в целом неясно, зачем он так страстно?
О чём он?

Так вот, чтоб тему закрыть, короткое резюме:
из пыли взойдя, отыдите к пыли.
Не мог не кончиться шабаш ваш, ваш в мутной воде круиз.
И нынче он кончен. Приплыли.

Ещё инерция вам иллюзию навевает,
ещё допущены вы в посольские телетрапы.
Любой, как прежде, заказ – и в кабинет, и на дом,
и за город во дворец, где пахнут гелиотропы.
И пахнут недурно, но это ваш ладан.
Вы трупы.

Ещё волна за волной потоки разоблачений
в эфир на всех языках не двинулись по каналам.
С овчарками денщики всклокоченные, как вдовы,
ещё разыскивать вас не кинулись по канавам,
но маятник должен, ищейки готовы.
Хана вам.

Яснее я не берусь, но доктор, обещаю, вас убедит,
вот именно в целом.
Не личный лечащий ваш, из ведомственных ближних, как бы не так.
Вот именно Доктор. Весь в белом.

У ближних свой интерес, проявят они усердие.
И пломбы вам обновят, и свежий бандаж подвяжут.
Найдут, что риск небольшой, симптомы неразличимы.
Вы, скажут, утомлены, и впрыснут вам, и помажут.
Но что не жильцы вы, что неизлечимы –
не скажут.

А Доктор сам по себе, ему притворяться некем.
Не тратит попусту он ни йода, ни липкой ленты.
Все ваши органы вмиг, от внутренних он до внешних
поймёт, как поймёт подлог, чуть глянув на документы.
Но их не исправит, а только расставит
акценты.

Метнётесь переиграть, схватиться за компромисс, попытать как шанс
малейшую малость.
Буквально вплоть до того, не в Новую чтоб Зеландию, под шумок,
а сразу бы в космос, в туманность.

Но Доктор вызовет вас, он лишнего не промедлит,
и цифры с ваших счетов покатятся врассыпную,
и станет ваша броня бумажными кружевами,
когда он вызовет вас в приёмную проходную,
когда напрямую займётся он вами.
И нами.

<2017>
Очень здорово. Еще в апреле в Падую хорошо съездил. Но нынешний июнь в Праге -- вообще редко выдаются такие удачные поездки.

И да, мне опять кажется, что я умею доказывать гипотезу очень плоскости плоских морфизмов конечной представимости для произвольных колец. Это может еще измениться, конечно (никогда не верь ничему, пока полное доказательство не написано на бумаге). Но дело не в том. Детали деталями, но достигнутый прорыв в понимании этих вопросов в любом случае очевиден и бесспорен.

Собственно гипотеза, между тем, времен еще московских. В середине (пред)грозового февраля 2014 года появилась на Архиве версия контрагерентного препринта, содержащая новый раздел 1.7, в котором эта гипотеза была сформулирована и некоторые специальные частные случаи ее доказаны алгебро-геометрическими средствами. Нынешний аргумент использует меньше геометрии и больше алгебры (как оно, собственно, и должно быть).
The argument for Noetherian rings seems to work. For non-Noetherian ones, not yet.
Let R be a commutative ring and S be a finitely presented commutative R-algebra. For that matter, let F be a finitely presented S-module.

Assume that F is a flat R-module. Then F is a very flat R-module.
Это доказательство гипотезы про очень плоские морфизмы (если оно действительно проходит -- и мне пока что кажется, что оно действительно проходит) представляется, между прочим, примером эффективности "гротендиковского подхода" к решению математических задач -- строй теорию вокруг задачи, и со временем она сама решится.

В практическом плане, в последнее время я пользуюсь таким рецептом, который могу всем рекомендовать. Подбирается набор взаимосвязанных технических понятий, свойства которых хотелось бы изучить. Формулируются естественные утверждения, говорящие о том, что эти понятия хорошо ведут себя в тех или иных контекстах -- в общем, то, чем хотелось бы иметь возможность пользоваться, когда с этими понятиями работаешь. Получается набор лемм, которые ты пытаешься доказать. Кода многие из них окажутся у тебя доказанными, ты называешь более трудные или важные из них теоремами или следствиями, менее трудные или важные -- просто леммами или предложениями, а те, которые не удалось доказать -- вопросами или гипотезами. Пишешь об этом статью, или аппендикс к уже существующей статье, и выкладываешь на Архив.

Текст, может быть, придется несколько раз переписывать, конечно, с постепенным обобщением и усилением. На этот случай на Архиве есть функция "обновить версию". Можно еще переписывать у себя в компьютере, не обнародуя промежуточные версии, но если время от времени выкладывать на Архив, то сохранность + шансы привлечь читателей увеличиваются, а вероятность умереть от голода уменьшается.

Надо найти кого-нибудь, с кем это можно обсуждать, чтоб был приток новых идей. После нескольких лет такой деятельности, однажды вечером ты открываешь свой старый препринт, сохраненный на Архиве, и находишь там давно забытую лемму или теорему, из которой (в комбинации с более свежими соображениями) следует твоя гипотеза.
Let R be a commutative Noetherian ring and S a finitely generated commutative R-algebra. Assume that S is a flat R-module. Then S is a very flat R-module.

It seems that we now know how to prove this more than three year old conjecture of mine, though the argument is rather involved.
https://www.facebook.com/mad.kukumber/posts/1509056252502523 пишет:

"О феминизме, мельком подумалось:

Я много консультирую людей, в том числе и по семейным спорам, и по различным делам, связанным насилием. Ситуации бывают сложными, не всегда всё сводится к отношениям между полами: имеют значение отношения между поколениями, между работодателем и рабочим, между бизнесом и государством. Всё это проецируется и на семью, многими неочевидными способами, и на отношения людей между собой.

Но в целом я пришёл к выводу, что в обществе накопился чудовищный по масштабам и интенсивности голод по свободам для женщин (по свободам вообще, но и по свободам женщин в частности). Плохо то, что обычные осмысленные выводы о жизни женщины - удел "людей с опытом", то есть по-простому - уже людей в возрасте. Осознание того, что ранний брак и немедленные роды - не единственная цель в жизни и не вершина карьеры, зачастую принадлежит уже только тем женщинам, "которые через это всё прошли". А общее направление культурного давления - оно да, часто вполне себе "традиционное", "сельское".

Так вот, есть общество, женщины и мужчины, которые чудовищно (я подчёркиваю это слово, оно вычурное, но другого подходящего я не знаю) голодны по развитию половой культуры, культурному оформлению и осмыслению своего жизненного опыта...

И есть профессиональные феминистки, которые не могут им ничего этого предложить."



https://www.facebook.com/posic/posts/1777136435634516 мой комментарий:

Объясняю: феминистки -- они не для того, чтобы утолять чей-то голод по культуре и помогать осмысливать опыт.

Феминистки -- для того, чтобы разжигать "войну между полами", с прицелом на то, чтобы способствовать в итоге общему краху цивилизации, с приходом к власти новых лениных и сталиных, по возможности, в глобальном масштабе.

А за культурой и осмыслением нужно обращаться к совсем другим людям. В какой форме продукция таких людей могла бы распространяться, и в какой -- оплачиваться в современных условиях, в чем мог бы состоять платежеспособный спрос на нее и т.д. -- это все уже дальнейшие вопросы.
Старики гнобят молодежь (или молодежь считает, что старики ее гнобят). Или нет, не старики -- просто представители мафиозных группировок гнобят тех, кто не принадлежит к их группировкам (это, конечно, оставшиеся вне мафий так считают; в глазах мафиози ситуация выглядит существенно более сложным образом).

На самом деле, неважно, кто и кого. Иксы гнобят Игреков, потом Иксы сходят со сцены, Игреки приходят к власти и гнобят Зетов. Научная или не научная, любая политика состоит примерно в этом. Любая?

Мне некомфортно участвовать в гноблении кого-то (за редкими исключениями очевидно и бесспорно недобросовестных или неквалифицированных персонажей). В этом -- одна из причин того, что я предпочел навсегда остаться в рядах тех, кого гнобят, отвергнув все предложения или упустив возможности перебраться в ряды тех, кто.

При виде того или иного истеблишмента, я думаю о том, следует ли признать его существование оправданным или неоправданным. В первом случае, мне хочется оставить его на месте, во втором -- свергнуть. Присоединиться к нему мне в любом случае не хочется. Зачем я там нужен?

В этом -- одна из причин того, что я не сделал карьеру.
According to Enochs-Estrada, quasi-coherent sheaves on a scheme are representations of a certain quiver with relations (otherwise known as additive functors from a fixed preadditive category into abelian groups, or modules over a big ring) satisfying the additional "quasi-coherence" condition.

What is this quasi-coherence condition? What is its place among the general concepts of homological algebra known to the contemporary algebraists? It is the condition of left Ext^{0,1}-perpendicularity to a certain set of objects of injective dimension 1, as in the paper of Geigle and Lenzing. The quasi-coherent sheaves are the left perpendicular class to a set of objects of injective dimension 1 in the category of modules over a big ring.

According to yours truly, contraherent cosheaves on a scheme are representations of a certain quiver with relations ( = modules over a certain big ring) satisfying the additional "contraherence" and "contraadjustness" conditions. What are these contraherence and contraadjustness conditions?

These are the conditions of right perpendicularity to a certain set of objects of projective dimension 2. The contraherent cosheaves are the right Ext^{0,1,2}-perpendicular class to a set of objects of projective dimension 2 in the category of modules over a big ring.

That is why the quasi-coherent sheaves are an abelian category, while the contraherent cosheaves are an exact category. The left/right perpendicular class to a set/class of objects of injective/projective dimension 1 in an abelian category is an abelian category (as Geigle and Lenzing already observed), while the Ext^*-perpendicular class to a set/class of objects of homological dimension more than 1 in an abelian category is an exact category (since it is a full subcategory closed under extensions).
я не мог бы не пойти на Тверскую -- это понятно, да? Именно поэтому я и уехал (одна из причин). И не собираюсь возвращаться, считая, что в русской тюрьме мне делать нечего (одна из причин).

Это не призыв ни к кому ходить туда (Боже упаси). И не призыв не ходить. Собственно говоря, я не знаю, что имеет в виду человек, живущий в Москве (или приезжающий туда) в 2017 году. Он наверное, знает, что он имеет в виду. И тогда он, наверное, знает и то, на какие мероприятия он хочет ходить и на какие не хочет. Я этого не знаю.
За 7 лет с осени 1989 по осень 1996 года я написал 6 научных работ (не считая писем, черновиков и утраченной мехматской дипломной работы). Четыре из этих шести вышли из печати в виде журнальных статей в 1991-95 годах, одна так и осталась архивным препринтом (1995 года), и еще одна в доработанном виде была опубликована в виде книги в 2005 году.

За 10 лет с осени 1996 по осень 2006 года я написал 2 научные работы и небольшую часть третьей, а также тезисы одного доклада (не считая писем). Все три работы вышли из печати в виде журнальных статей в 2002-06 годах, а тезисы доклада были выложены в интернет.

За 5 лет с осени 2006 по осень 2011 года я написал 9 научных работ, шесть из которых вышли из печати в виде четырех журнальных статей и двух книг в 2010-12 годах, и остальные три статьи были опубликованы в журналах в 2014-15 годах.

За 2.5 года с осени 2011 по весну 2014 года я написал 3 научные работы (не считая писем), две из них размером с книги и одна с журнальную статью. Все три работы до сих пор остаются неопубликованными архивными препринтами.

За 3 года с весны 2014 по весну 2017 года я написал 12 научных работ (не считая писем), ни одна из них не размером с книгу. Пять из них вышли из печати в виде журнальных статей в 2016-17 годах, и семь остаются архивными препринтами.
I think that, from many points of view, contramodules are much better understood than comodules nowadays. "A contramodule category" is a locally presentable abelian category with a projective generator; this is a very reasonable definition that works well in a number of contexts.

What "a comodule category" is? Is it just a Grothendieck abelian category? A locally presentable abelian category with an injective cogenerator? A hereditary torsion class (localizing Serre subcategory) in the category of modules over an associative ring? A left perpendicular subcategory in the category of modules over an associative ring (in one or another sense of the word)? How are these classes of abelian categories related to one another?

Take a locally presentable abelian category B, an object M in B, the full subcategory Prod(M) of all direct summands of set-indexed products of copies of M in B. Then there exists a unique abelian category A with enough injective objects such that the full subcategory of injective objects in A is equivalent to the full subcategory Prod(M) in B. What can one say about the category A? Does it belong to any of the above-mentioned classes of abelian categories?

Knowing more about contramodules than I know about comodules is in some sense a good indicator of having mastered the subject. Is it?
Но есть люди, которые в первую очередь ненавидят Путина и его силовиков, а есть люди, которые в первую очередь ненавидят демократическую оппозицию Путину и его силовикам. И мне кажется, что выбор объекта для ненависти здесь немало говорит как о первой категории людей, так и о второй.
Следующие результаты можно при случае включить в мой последний архивный препринт, 1705.04960.

Пусть R -- коммутативное кольцо, I ⊂ R -- конечно-порожденный идеал, R^ = limn R/In -- I-адическое пополнение кольца R, рассматриваемое как топологическое кольцо в топологии проективного предела (= I-адической топологии R-модуля R^). Пусть Λ = ΛI обозначает функтор I-адического пополнения M &rar; limn M/InM на категории R-модулей, Δ = ΔI -- функтор, сопряженный слева к вложению полной подкатегории I-контрамодульных R-модулей в R-mod.

Тогда:

1. Нулевой левый производный функтор L0Λ не точного ни слева, ни справа функтора Λ -- он же точный справа функтор R-mod → R-mod, совпадающий с функтором Λ на полной подкатегории проективных модулей в R-mod -- является сопряженным слева функтором к вполне строгому забывающему функтору R^-contra → R-mod.

2. Полная подкатегория I-контрамодульных R-модулей R-modI-ctra ⊂ R-mod есть в точности минимальная полная подкатегория в R-mod, содержащая образ вполне строгого забывающего функтора R^-contra → R-mod и замкнутая относительно расширений. В самом деле, всякий I-контрамодульный R-модуль является расширением двух R^-контрамодулей, как следует из вычисления ядра сюръективного морфизма Δ(M) → Λ(M) в разделе 7 препринта 1605.03934.

2а. Таким образом, свободный R^-контрамодуль с одной образующей R^ является 1-хорошей проективной образующей локально представимой абелевой категории R^-contra тогда и только тогда, когда вполне строгий функтор R^-contra → R^-modR^I-ctra является эквивалентностью категорий. В частности, если взять за кольцо R с идеалом I контрпример из раздела 2 работы 1503.05523, то R^-контрамодуль R^ будет 0-хорошей, но не 1-хорошей проективной образующей категории R^-contra.

June 2017

S M T W T F S
     123
4 5678910
11 121314 151617
18 19 2021 22 23 24
2526 27282930 

Syndicate

RSS Atom

Most Popular Tags

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Jul. 26th, 2017 10:40 am
Powered by Dreamwidth Studios